希尔伯特：以质疑之声指明数学研究的方向

柏华元

普鲁士的首府柯尼斯堡镇，因“柯尼斯堡七桥问题”（欧拉在1735年解决了这个难题）在18世纪闻名于数学界。到了19世纪后期，这个小镇再一次名声大震，因为这里诞生了一位数学大师，他就是大卫·希尔伯特。

1862年，希尔伯特出生于东普鲁士的柯尼斯堡镇，他的祖父和父亲都是法官，母亲是一位富商的女儿，对哲学、数学、天文学等略有研究。母亲负责希尔伯特的启蒙教育。有段时间母亲对质数着了迷，就会拉着小希尔伯特，指着天上的星星，像讲故事一样给儿子介绍质数。慢慢地，希尔伯特也迷上了数学。在孩提时代，希尔伯特就了解到，古希腊人已经证明了“要想尽可能生成所有数字，就需要无穷多个素数”。上学后，他在深入地学习了数学的相关知识后猜测：如果将数字转换成方程的话，结果应该会大不相同。可是如何证明只有有限的方程才可用来生成某些有无穷多个解的方程组呢？这成为19世纪末数学家们面临的一大挑战。同时期的其他数学家都尝试通过构建方程这种费时费力的方法来攻克这个难题。但是希尔伯特却另辟蹊径，虽然他无法构建出这样的一组方程，但是他却证明了这些有限的方程必然存在。这一观点震惊了当时的数学界。希尔伯特的导师也心生怀疑：这个结论是不是来得太容易了？

这对当时正统派的数学理论研究者来说，可是一个不小的挑战。如果人们无法看到有限的数据列表，就很难接受它的存在，即使有确凿的证据证明它的存在，也很难让人信服。那些仍固守法国传统数学的数学家，只认同方程和显式公式，很难从心里接受这样一种观点：有些东西虽然是看不见的，但确实是真实存在的。保罗·戈尔丹是该领域的专家，他这样评价希尔伯特的发现：“这不是数学，这是神学。”希尔伯特依然坚守自己的观点，即使他那时才二十几岁。最后，数学家们终于承认，希尔伯特是对的，就连戈尔丹也妥协让步了。戈尔丹如此说道：“我相信，就算是‘神学’，也有其可取之处的。”在此之后，希尔伯特开始研究起数字来，他将那些数字形容为“一座难得的集美与和谐于一身的建筑物”。

1893年，德国数学学会邀请希尔伯特写一份关于数论在19世纪末发展情况的报告。这对于一个刚刚三十出头的年轻人来说，是一个艰巨的任务。在一百多年前，这门学科甚至都没有形成一套完整的体系。高斯于1801年出版的《算术研究》一书，开拓了数论这片“沃土”。到了19世紀末，“数论之花”灿烂绽放。为了使这一学科的发展步入正轨，希尔伯特的老朋友赫尔曼·闵可夫斯基加入到他的阵营。他们在柯尼斯堡读书时就认识了。闵可夫斯基在数论的研究上成绩斐然，18岁时就斩获了数学科学大奖。闵可夫斯基的加入，点燃了希尔伯特对素数的研究热情。闵可夫斯基宣称，通过他们的研究，素数一定会“摇曳生姿“起来。

希尔伯特的“神学”为他在欧洲数学界赢得了一席之地。1895年，德国数学家、时任哥廷根大学教授的菲利克斯·克莱因向他抛来了橄榄枝，来信希望他到哥廷根大学任教。希尔伯特欣然接受了邀请。在讨论聘用希尔伯特任教一事的大会上，哥廷根大学的其他教职工都对克莱因的邀请和力挺表示质疑，纷纷猜测他是不是招来了一个毫无立场的“跟班儿”。克莱因向他们保证，希尔伯特绝不是那类人。他说：“我已经问过最难相处的人的意见了。”就在那年的秋天，希尔伯特只身前往那座小镇，他的灵魂导师黎曼就曾在那里任教。

不久，哥廷根大学的教职工们就意识到，希尔伯特并不满足于对正统数学理论的研究。这个新同事的行为作派令那些数学家们大开眼界，震惊不已。其中一个人这样写道：“他简直就是来搅局的。我听说，有一天晚上，有人看见他在餐厅的后厨和学生们打台球。”希尔伯特在院子里架起了一块20英尺长的黑板，除了打理花圃和进行自行车炫技之外，其余的时间他就在黑板上演算数学问题。他特别喜欢聚会，经常将留声机的最大唱针放到唱片上，大声播放音乐。不过，与希尔伯特在数学上取得的成就相比，这些小怪癖显得无足轻重。

1898年，希尔伯特将研究方向从数论转到了几何学上，他对一些数学家在19世纪提出的新几何学观点很感兴趣。而一些数学家宣称，这些新几何学观点违背了古希腊人提出的一条基本几何公理。但希尔伯特坚信抽象数学中蕴含着“看不见的强大力量”。因此，一个物体有何物质实体是无关紧要的，而物体间有何关系，才是至关重要的。他开始研究隐藏在那些新几何学问题背后的抽象结构和关系。希尔伯特曾经宣称，如果用桌、椅、啤酒杯来分别代替点、线、面的话，这些几何理论依然适用。这使得他一时名声大振。早在一个世纪前，高斯就发现了这些有关新几何学的结论，但是他并没有将这些非正统的想法公之于众。但是，他开始质疑欧几里得提出的一个基本几何公理，即关于平行线的存在性问题。欧几里得曾经考虑过这样一个问题：给出一条直线和线外一点，通过该点可以画出多少条直线与原直线平行？对欧几里得来说，答案似乎是显而易见的，就是有且只有一条直线。16岁的高斯开始推测，可能有这样一种几何学，其中不存在平行线这样的几何图形。除了欧几里得的几何学和这样一种不存在平行线的新几何学外，还可能存在第三类几何学，其中可能存在不止一条平行线。如果真是那样的话，那么对于这种几何学来说，三角形内角和就不再是180°，这是希腊人不敢想象的。如果真的存在这样的新几何学，那么高斯想知道的是，到底用哪种方法才能最完美地描绘现实世界。古希腊人坚信，他们创建的模型就可以描述现实世界。但是高斯根本不能确定古希腊人的这种观点是对还是错。当对汉诺威王国进行地形勘测时，高斯就是利用哥廷根所采用的测量方法来验证由三处山顶投射下来的光束所构成的三角形内角和是否不等于180°的。高斯认为光线在传播路径中会发生偏折。或许，在三维空间发生的弯曲和地球表面的二维图一样。他想到了无限大的圆弧，例如，经度线是地球表面两点之间最短的路径。对这样的二维几何而言，不存在平行的经度线，因为所有的经度线都会相交于极点。之前没人想到过在三维空间中会发生弯曲的情况。现在我们意识到，高斯观察到的空间弯曲在欧几里得开辟的几何世界面前，只不过是“蚍蜉撼大树”，仅触及其一点皮毛罢了。到了19世纪30年代，高斯提出的新几何学终于出现在公众视野。

到了希尔伯特时期，这种学说开始登上数学舞台，以一种更加抽象的方法完美地“描绘”数学世界。一些数学家声称，任何不满足欧几里得平行线假设的几何学，必定存在某些内在的矛盾，而这种内在矛盾会导致该几何学体系的瓦解。希尔伯特在探究这种可能性的过程中，发现非欧几何和欧氏几何之间存在较强的逻辑关系。他发现，当非欧几何存在矛盾时，欧氏几何也存在这种矛盾。这也算取得了一定进步。希尔伯特的发现表明，两种几何学，一损俱损。但是之后，希尔伯特发现了一个令人不安的事实：没有人可以真正证明欧氏几何不存在内在矛盾。

希尔伯特开始研究，如何证明欧氏几何是有逻辑的。尽管两千多年来没人发现欧氏几何有什么内在矛盾，但也不能说不存在矛盾之处。希尔伯特要做的第一件事就是从公式和方程的角度重新解释几何学。笛卡儿创立了解析几何，被18世纪的法国数学家们广泛接受。利用公式来描述点线关系，可以将几何简化成代数，因为用几个数字就可以表示坐标系里的一个点。数学家们相信数论不存在矛盾之处。因此，希尔伯特希望借助将几何替换成数字的方法，解决欧氏几何是否存在矛盾这一问题。

然而，还没等他找到以上问题的答案，希尔伯特就发现了一个更加令人不安的事实：没有人能真正证明数论本身不存在矛盾之处。对希尔伯特来说，这真是当头一棒。数个世纪以来，无论从理论上还是从实践上，数学家们在运用数论的过程中，都没有发现什么内在矛盾，因此逐渐将其视为金科玉律。“勇敢向前，信念与你同在。”这是18世纪的法国数学家让·勒朗·达朗伯对那些质疑“数学的基础”的人们给出的有力回答。数字之于数学家，好比有机体之于生物学家，都是真实存在的。数学家乐此不疲地借助这些假设（而他们都认为这是不证自明的数字真理）进行推理。从来没有人想过，这些假设可能存在矛盾之处。

希尔伯特在研究中提出了质疑：数学的基础是什么？这么重要的问题，一旦提出来就不可能置之不理了。希尔伯特的质疑，标志着一个数学新时代的来临。数学不再只是其他科学研究的工具，而成为一门探索理论、追求真理的独立学科。希尔伯特对“数学的基础”这一问题的思考，给他带来了一个从事抽象数学实践的机会。他提出的新方法使他在20世纪声名鹊起。

在1899年即将接近尾声时，一个绝好的机会摆在希尔伯特面前，他终于可以向世人描述这样一幅画面：他提出的新思想將会给几何学、数论和数理逻辑带来一个翻天覆地的变化。一天，希尔伯特收到了来自国际数学家大会的邀请，希望他明年能去巴黎参加大会，并在会上发表重要演讲。对于一个不满40岁的数学家来说，这是至高无上的荣誉。

在如此重大的场合，要演讲些什么内容呢？希尔伯特犯难了。一篇好的演讲稿既要做到令人耳目一新，又要合乎时宜。希尔伯特想到能否在演讲中畅想、展望数学的未来呢？他开始就这一想法征求朋友们的意见。要知道，这在当时是不同寻常的做法，且违背了那条不成文的规定：只有完整的、系统化的思想，才能公开发表。打破由那些公认的定理构筑的安全屏障，去畅想不确定的未来，这是需要极大的勇气的。但是，希尔伯特不惧争议。最后，他决定带着那些尚未得到证明的问题，去挑战数学界的传统观念。

然而，希尔伯特心里也不免打起了鼓：在这样的场合，发表这样一种前卫的演讲，是明智之举吗？或许他也应该随波逐流，讲一讲他所取得的研究成果，而不是谈那些他还没有完全解决的问题。由于拖延了时间，他错过了提交演讲报告题目的最后期限。因此，他的名字并没有出现在第二届国际数学家大会的演讲者名单上。到了1900年夏天，朋友们都担心他就要与这个表达自己想法的绝佳机会失之交臂了。但是有一天，他们都在办公桌上发现了希尔伯特的演讲稿。“数学问题”这几个大字，赫然出现在他们的面前。

希尔伯特相信，问题是数学的命脉，而对问题的选择更要慎之又慎。他写道：“一个数学问题要够难，才能引起我们的关注;但是又不能太难，难到完全高不可攀，反过来嘲笑那些徒劳无功的人们。它要能指引我们穿过一条条迷宫般的路径，寻找隐藏在其中的真理，并能让我们最终在得到答案后获得成功的喜悦。”他所提出的23道难题，都是按照这一严苛标准精挑细选出来的。希尔伯特在演讲中向数学探索者们提出了新的挑战。

19世纪末期，一位杰出的生理学家埃米尔·杜布瓦一雷蒙提出：我们对自然的认识具有局限性。这在许多研究领域都产生了巨大的影响。哲学圈里有一个流行语就是：“我们现在不知道，将来也不会知道。”但是，希尔伯特在新世纪的愿望就是扫除这类悲观论调。他在介绍完23道数学难题后，发出令人热血沸腾的呐喊：“要相信，每个数学问题都是可以解决的。这种信念对数学工作者来说，是一种莫大的动力。我们能听到，有一个声音在不停地呼唤：问题就在那儿，等着你们去寻找答案。你一定能找到答案，这是因为，对于数学来说，没有什么是不可知的。”

希尔伯特所提的前两个问题，就涉及那些一直困扰他的基本问题，而其它问题则覆盖数学领域的方方面面。有些是开放式的，并非有明确答案的问题。其中一个问题还涉及黎曼的猜想，那是物理学的基本问题，最终只能用数学知识来解决。

第五个问题源于黎曼秉承的信念：数学的不同分支，不论是代数、分析还是几何，都是紧密相连的，不能将它们分离开来，只去理解某一分支。黎曼认为方程的几何性质可以用这些方程定义的几何图形推断出来。数学上有这样一个说法：代数和分析必须对几何“敬而远之”，因为几何会使人误入歧途。要想打破这个教条，是需要一定的勇气的。这也是诸如欧拉和柯西等数学家为什么会如此反对利用符号来描述虚数的原因。对他们而言，虚数就是诸如x=-1之类方程的解，无需再增加令人迷惑的符号了。但是对黎曼来说，这些学科之间显然是有联系的。

在这23道难题之中，希尔伯特提到了费马大定理。尽管那时的公众普遍认为，这个问题是数学史上一个伟大的未解之谜，可让人奇怪的是，在希尔伯特的问题中，这个问题却未占一席之地。在希尔伯特看来，这是一个极为特别又无足轻重的问题。高斯也持相同的观点。他宣称，人们可以选择一系列其它方程，并询问这些方程是否有解。费马选择的方程则并没有什么特别之处。

希尔伯特从高斯对费马大定理的评论中获得了灵感，提出了第十问：是否存在一种算法（类似于计算机软件那样的数学程序），可以让人在有限的时间内判断出一个方程是否有解。希尔伯特希望这个问题能将数学家们的注意力从具体问题转向抽象问题。高斯和黎曼是他的榜样，他们为素数研究提供了一个新视角。从此，数学家们不再拘泥于研究一个特定数字是否为素数，而是从整体上去研究有关素数的问题。希尔伯特希望他提出的这一问题也能产生这样的影响。

正如希尔伯特的好友闵可夫斯基所评价的那样：“毫无例外，世界上所有的数学家都会阅读你的演讲稿。到时候，你对年轻数学家的吸引力就更大了。”希尔伯特敢于打破常规，发表了这样一篇演讲稿，使其成为20世纪新数学思想的奠基人。闵可夫斯基相信，这23个问题的提出，将会对国际数学界产生巨大的影响。他对希尔伯特说：“你真的触及了20世纪所有的数学问题。”

在希尔伯特提出的众多开放式问题中，有一个与众不同，它就是第八个问题：证明黎曼假设。在一次采访中，希尔伯特谈到，他相信黎曼假设绝对会成为数学史上最重要的问题。在此期间，曾有人向他请教：未来最伟大的科技成就是什么？他幽默地答道：“是到月球上去抓苍蝇。”因为要实现这一目标，必须解决一系列的技术难题。这意味着要克服人类面临的几乎所有困难。

他相信，证明黎曼假设之于数学，就好比到月球上抓苍蝇。当希尔伯特提出把黎曼假设作为第八个问题后，他进一步解释，完全理解黎曼的素数公式，或许能带领我们进入一个新领域。在那儿，我们能揭开素数的许多其它秘密。他认为黎曼假设的证明热潮具有双重意义：一方面，它预示着数学史上一个时代的谢幕;另一方面，它将为我们打开更多扇门。

希尔伯特相信，距离证明黎曼假设的那一天不会太久。在1919年的一次演讲中，他乐观地说道，自己能活着看到有人证明出黎曼假设，或許台下最年轻的观众还能有幸见证费马大定理的证明。但是，他又大胆地预测，或许在场的所有人都不能活到亲眼见证第七个问题的证明——2的根号1次幂是否为某个方程的解。希尔伯特在数学上极有天赋，但若论预测能力，则稍显逊色。不到10年的时间，他的第七个问题就被攻克了。1919年听过希尔伯特演讲的年轻毕业生，见证了怀尔斯对费马大定理的证明。在过去的几十年里，尽管人们在证明黎曼假设上已取得了可喜的成绩，但是就算希尔伯特从坟墓中醒来，黎曼假设可能依然无解。

有一次，希尔伯特仿佛看到那一天离他不远了。一天，他收到一个学生寄来的一篇论文，该学生声称自己证明了黎曼假设。没多久，希尔伯特就发现了证明中存在的一个漏洞。但是，他被其采用的证明方法深深吸引了。不过可惜的是，这个学生在一年之后就去世了。希尔伯特对这个年轻人提出的想法赞赏有加，并希望有一天可以促使这个伟大的假设得到证明。他说：“如果你愿意的话，可以考虑在虚数上定义一个函数……”就这样，希尔伯特投入到错误的证明中，使这个数学问题偏离了原来的正确轨道。不过，这完美地诠释了人们对数学家的刻板印象：数学家往往会与现实社会脱节。不管这个故事是真是假，但都是可信的。

在希尔伯特发表演讲后，黎曼假设很快就进入了公众视野。如今，它被誉为数学史上最伟大的未解之谜。尽管希尔伯特一心想证明这个假设，最终却未能成功，但他提出的新课题对20世纪的数学产生了深远的影响。就连他提出的物理学问题以及关于数学公理的基本问题，也在20世纪末推动了人们对素数问题的研究。