一道圆锥曲线高考题的解法及推广

许安强

摘 要：运用“斜率方程”解决一类椭圆中的斜率问题，并将该结论推广.

关键词：椭圆;圆锥曲线;斜率;韦达定理

圆锥曲线中有关斜率的问题是高考的常考点，2017年和2015年的全国1卷理科数学第20题都与之有关，解决此类问题的通性通法是联立方程组，利用韋达定理进行化简求值，合理转化化归，要求学生有较强的代数恒等变换、运算能力.下面我们以2017年全国1卷理数第20题为例，引出解决圆锥曲线中有关斜率问题的一种方法.

证明略.对双曲线和抛物线也有此类似结论，并且结论1和结论2的逆命题也成立，限于篇幅，此处从略.在解题过程中，通过回顾解题步骤和解题方法，来达到解一题而通一类之目的，如波利亚说：“仔细检查引导你获得解答的方法，注意找出它的要点，并在其他题目中尝试应用它.仔细检查你的结论，并尝试应用于别的题目.”

解题启发

圆锥曲线中有关斜率的定值定点问题是高考的常考知识点，通性通法是联立方程组，得到关于x或y的二次方程，利用韦达定理进行化简求值;文中所用方法是建立关于斜率k二次方程，进一步简化运算，在结论1的证明中更是简洁无比，起到四两拨千斤之效果.

波利亚在《怎样解题》序言开篇就写：“一个重大的发现可以解决一道重大的题目，但是在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现.你要解答的题目可能很平常，但是如果它激起你的好奇心，并使你的创造力发挥出来，而且如果你用自己的方法解决了它，那么你就能经历那种紧张状态，而且享受那种发现的喜悦.”

参考文献：

[1]波利亚.怎样解题[M].涂泓，冯承天 译，上海：上海科技教育出版社，2007