基于数学核心素养的“深度学习”教学实践

曹洪章 郭怀玉

摘 要：本文基于数学核心素养的深度学习理论，对《余弦定理》一节课的教学设计进行探究，做了一堂基于数学核心素养的深度学习的教学设计实践，谈谈如何运用此观点对《余弦定理》这一节课进行变革，体现新课标理念。

关键词：深度学习;数学核心素养;余弦定理

一、深度学习概述

深度学习是机器学习研究中的一个新的领域，其动机在于建立、模拟人脑进行分析学习的神经网络，它模仿人脑的机制来解释数据，例如图像、声音和文本。深度学习（Deep learning）是美国学者Ference Marton和Roger Saljo在1976年基于大学生对于文本阅读学习结果的研究提出的概念，但是国内对深度学习的研究起步较晚。2005年黎加厚教授在促进学生深度学习的著作中，首次提出了深度学习的概念。深度学习通过组合低层特征形成更加抽象的高层表示属性类别或特征，以发现数据的分布式特征表示。在此之后国内研究者，开始关注深度学习。随着研究的不断深入，许多与深度学习关联的研究也开始出现。如神经网络学习过程，课堂教学等。对深度学习的跨学科研究也得到飞速的发展，如教育学，数学等学科领域衍生出不同层次的深度学习研究。

基于数学核心素养的“深度学习”是指学习者运用高阶思维将所学的知识和技能应用到新的复杂情境，逐步形成正确的价值观和必备品格的认知过程。深度学习是无监督学习的一种。学习是一种基于高阶思维发展的理解性學习，为理解而教，为理解而学，追求建立个性化的有迁移功能的认知结构。本文以余弦定理的一节教学设计为实例，开展基于数学核心素养的深度学习的一次教学实例活动。

二、以《余弦定理》教学设计为例，基于核心素养的“深度学习”研究

（一）基本背景

余弦定理是人教A版必修5《1.1.2余弦定理》的学习内容，是继正弦定理后学习的一个重要的解三角形定理。该定理实现了边角的互化，为解决可转化的三角形计算问题提供了重要的理论工具。学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。但是学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，分析与解决问题能力不强，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度。我们从具体问题引入，从感性认识到理性认识，从特例抽象出数学的本质，应用方程思想去审视、解决实践问题是学生学习的难点。

深度学习是学生自发自主地学习，而不是课堂上老师满堂灌的教，深度学习并不是对昨天课堂的颠覆，而是改进，希望课堂少些学生学习表面的热闹，多些能力的成长，特别是思维深度、密度和广度的增加。

结合《余弦定理》这节课，核心素养又有哪些呢？这节课的根本问题是三角形中几何元素间的关系，是探究规律的思维，是需要几何直观形象的发现和逻辑演绎的严密证明。《余弦定理》需要创设怎样的情境，通过什么样的思维活动才能把数学知识通过数学活动转化为数学素养，发展学生的理性思维（特别是逻辑思维），使学生学会有逻辑地、创造性地思考，学会使用数学语言表达与交流，成为善于分析问题和解决问题的人才，在数学知识的发生发展过程中，培养学生的理性思维，发展学生的数学学科核心素养，以达立德树人之目的，是这节数学课程的主要任务。

（二）设计过程

1.创设新情境，激发求知欲

基于数学核心素养的立德树人目标，容易超出学生现有的知识水平，处于最近发展区之外，学生易出现思维断层，也不利于高级思维的培养。显而易见，学生还停留在较浅层次的学习程度上。故做如下的教学设计：联系旧知，明确学习意义;复习旧知。联系是教学的第一环节，解决为什么学习的问题，目的是让学生将旧知或经验与新知相联系，找到新知的价值，明确学习的意义，产生学习的欲望。

教学实录片段1：

师：（1）两个三角形全等的判断方法是什么？

（2）三角形的正弦定理内容 ，主要解决哪几类问题的三角形？

生：，，，，.

生：两角一边，两边一对角。（角角边;两边和对角）

师：给予及时的鼓励和表扬。

点评：回顾旧知，让新知识建立在旧知之上，研究思路、方法一致，运用类比思想，遵循认知规律！类比思想才是深度学习的内容，学的既不是知识，也不是技巧、技术，而是思想。

师：你能判断下列三角形的形状吗？

（3）以3，4，5为各边长的三角形是_____三角形

以2，3，4为各边长的三角形是_____三角形

以4，5，6为各边长的三角形是_____三角形，你能发现什么规律吗？

（4）在△ABC中，，，你能求边长吗？

生1：第一个是直角三角形，勾三股四弦五呀，后两个我猜可能是锐角三角形和钝角三角形。

生2：应该说第二个是钝角三角形，第三个是钝角三角形，可以看出来。

师：判断的依据和原因是什么呢？

生3：以最大边为直径画圆，如果第三个顶点在圆内就是钝角三角形，如果在圆外就是锐角三角形。

师：你的直观想象能力很强，几何直观能力超强，逻辑思维也很好。

生：老师我发现： ，说明，三边为3，4，5时该式为零，从而判断是直角三角形，越大这个值就会大于0，就是锐角三角形，反之是钝角三角形。

师：你回答的真棒，你的观察力很强，总结概况能力很棒。你能从特殊看到一般，还会用式子表达出证明，说明你的观察能力和发现问题能力很强，你的数学素养很高，尤其是用数学语言表达能力很强。

生：老师用来判断是锐角还是钝角，太容易了。

师：你有着良好的学习习惯，提前预习了本节课，已经掌握了一把杀牛刀，不少同学和你用的方法一样，恭喜你们。这恰恰就是我们今天要讲的重点内容，你们已经初入门径了。

生：，老师对不？

师：对，给你点赞，这就是我们要学习的余弦定理，那谁还能发现类似正余弦定理的关系呢？

点评：教师从几何画板引入问题，让学生对新的环境有新的求知欲望，激发了学生的学习兴趣，使学生积极尝试在新环境新情境中发现问题。数形结合思想渗透，帮助学生分析相关内容，从感性入手，从特殊到一般，从多角度看待问题，用实践进行检验认知，遵循学生的认知规律。这种观点下的引导和创设问题情境，就是一种深度学习。问题是开放的，可以动手画图感知，可以猜想再验证，可以算出等等。余弦定理要解决的两类问题，“边边边”和“边角边”两类问题，抛出问题之后，组织学生讨论，教师在下面巡视，观察学生的求解过程。在学生积极参与探究活动的过程中，学生可能发现到的等量关系或者不等量关系如下：， ，，

等，引导学生进行发散性、开放性思维，从相关知识入手，选择简洁的工具。积极尝试创新型思维培养的教学活动，重要的不是结果而是过程，实践结果往往令课堂有意外收获或惊喜，发现问题往往比解决问题更重要。

生：老师，我知道三角形内角和是.

生：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

生：还有面积公式。

师：同学们回答的都很好，这些都是关系，数学就是研究几何元素之间等量或不等量关系的，那我们今天学习的《余弦定理》就是一种三角形六个元素间的一种等量关系，大家首先感知了余弦定理，下面谁有好的方法去证明一下你的发现《余弦定理》呢？

点评：在教师开放性的问题引导下，学生可能从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法等方面进行分析讨论，选择简洁的处理工具，引发学生的积极讨论，这就是基于数学核心素养下的深度学习。它兼有了高观点，同时情境又贴合学生实际，能引发学生共鸣，让学生自己表达自己的思想，学会用数学观点去观察世界，学会用数学思想去思考世界，学会用数学语言来表达世界。教师知识提供创设的情境，并提供时间给学生创设恰当的问题，这就让学生思维的广度和密度得到了训练。

2.创设思维活动，开展深度学习

谁有好的方法去证明一下你的发现《余弦定理》呢？在这样的开放性问题提出后，大多数学生都有跃跃欲试的状态。利用类比思想想象，尝试理解新知。“直观想象”是数学核心素养的重要组成部分，解决“为什么”问题，目的是使学生充分发挥想象，通过类比、联系的方式探索新知，进一步步理解新知。这一环节主要采用小组合作探究的方式进行教学，教师通过提问的方式进行引导。

教学实录片段2：

師：谁有好的方法去证明一下你的发现《余弦定理》呢？

点评：向量法、几何法、解析法等方法不限，学生思维空间很大，学生进行深度学习的舞台就很大。为了比较各组成果优劣，鼓励各组可以用不同的方法板书展示，分组开展探究活动，教师在下面巡视和学生讨论时可以进行适当的引导、提示。

一组：向量法。

二组：几何法。

三组：坐标法。

以C点为坐标原点，CA为x轴建立平面直角坐标系，则，.

师：这三种是比较有代表性的解法，还有其它方法有兴趣的同学课下可以接着研究，下面谁能有合适的语言表达出余弦定理呢？并说明能解决哪类问题。

用文字语言表示是：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，可以解决两边和夹角的问题。

生：还可以变式为：解决三边求角的问题。

点评：同学间的讲解、提示、补充，既有倾听思考，又有理解表达，帮助学生从主观想象走向客观知识，促使学生获得新知，丰富自身的知识结构，这些正是体现了新课标让学生达到“三会”目标。找到适合自己知识结构的解法，课堂顿时变得十分热闹，经过激烈的讨论，学生最终达到以下共识：思想决定思路。思维的层次、广度和密度得以体现。

突破本题的关键在于借助转化与划归的数学思想对边角关系进行转化，为达成共识需要注意具体转化的策略，学生主要有三种代表性的建议。一是向量法，将第三边c利用向量差的运算转化为另两边的关系;二是几何法，利用勾股定理，将斜边转化为直角边;三是坐标法，将三角问题转化成图象，借助于坐标化求距离。

3.学以致用，应用新知

教学的第三个环节，属于“怎么办”问题，应用掌握新知，目的是让学生通过练习操作，学会运用所学的新知和技能解决问题，将课本知识转化成个人技能。经过前面环节的学习，学生对余弦定理已经有了比较全面的理解，接下来还需要进一步对余弦定理进行应用和掌握。首先，教师布置如下习题：

例1 在△ABC中，已知 ，求解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）.

例2 在△ABC中，已知 ，解三角形（角度精确到1′）.

点评：应用数学知识求解问题，例题1解决了课堂引入时提出的问题（4），用笔算解题，例题2加强计算器的运算训练，同时，巩固好余弦定理相关知识，体会所学知识和方法在解三角形中的简单应用。

例3 已知△ABC中 求c边长。

点评：①本题可用正弦定理分析引导;②也可应用余弦定理构造关于c的方程求解。③比较两种方法的利弊。能用正弦定理解决的问题也可以用余弦定理解决，具有优越性。继续深化正弦、余弦定理，尤其是设元的方程思想求解问题，并让学生初步发现“边边角”问题解法，为下面学习做辅垫。基于数学核心素养的深度学习，重要的是学生学会思考、善于思考，让学生独立解答;接着，有针对性地请两名学生展示解题过程，这两名学生分别利用正弦定理和余弦定理来解答;通过比较两种不同的解法，让学生领悟运用余弦定理解题的优越性，同时也能感受到两个定理在解三角形问题中的利与弊。学生思维得到碰撞，尝试批判性思维。

4.课堂练习检测，延伸扩展新知

课堂检测是教学的第四个环节，由教师提供具有典型性问题对学生进行检测和反馈，让学生灵活运用已有的知识和技能进行思考与运用，从而延伸和拓展所学的知识，掌握知识的本质。

检测1 锐角△ABC中则取值为（ ）

检测2 在△ABC中若有，你能判断这个三角形的形状吗？若 呢？

点评：第1题符合多想少算的理念，第2题进行变式训练。用检测去巩固所学知识，使学生逐步形成良好的知识结构，提升学生数学知识应用能力。根据分层教学的需要，可适度调整此练习检测或留作课下作业或课堂测试。

5.归纳总结反思，交流分享成果

“归纳总结反思”是教学的最后一个环节，目的是让学生充分展示自己的收获与反思，在分享和交流过程中达到融会贯通。在这一环节中，教师要营造活跃的交流和分享氛围，让小组派代表或学生个人展示和分享自己的收获，其他学生可进行补充

和点评，教师充当鼓励者和评价者，对学生的交流和分享进行点评和补充，并以知识结构图和思维导图等形式呈现出来的为目的。将学习风格与教学设计有机结合，充分关注和尊重学生的个体差异。基于核心素养的深度学习模式的教学设计具有目标明确、步骤具体、思路清晰、循序渐进的特点。在教学过程中，师生角色分明，任务清晰，活动有序。

通过知识回顾，使学生各自体会收获，养成学生每日反省自身的良好习惯，让学生因每天能得到进步而自信。在本课的教学设计中抓住前后知识的联系，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，认识数学与实际的联系，使学生学会应用数学知识和方法解决一些实际问题。学生应用数学的意识不强，创造力不足、看待问题不深入，很大原因在于学生的知识系统不够完善。因此本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，帮助学生建立良好的知识结构。将基于核心素养的深度学习模式应用于实际课堂，能有效地提高学生学习的主动性和感悟新知的能动性，是一种值得不断改进和优化的教学模式。

参考文献：

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