2019年高考全国卷一理科22题浅析

摘 要：“坐标系与参数方程”属于全国卷一中的选做内容，主要体现了代数与几何之间的相互转化及对应关系。本文在对近四年全国卷一中的此部分内容考查的分析上，对2019年的全国卷一中的这部分试题进行探讨和分析。

关键词：坐标系与参数方程;全国卷;高考题;高中数学

在全国卷一中，“坐標系与参数方程”为选做题二选一中的一道，中等难度，分数为10分。2015全国卷一主要考查直角坐标方程与极坐标方程互相转化;以及如何利用ρ的几何意义求解弦长，进一步求出三角形的面积;2016全国卷一主要考查把参数方程先化为普通方程，再转化成极坐标方程;进而联立方程组求出相应交点的坐标;2017全国卷一主要考查把参数方程转化成普通方程，接着联立方程组求出交点的坐标;利用椭圆的参数方程来表示出距离;2018全国卷二主要考查把极坐标方程转化成对应直角坐标方程;求解轨迹方程。

下面来具体分析2019年全国卷一中对于“极坐标与参数方程”的考查。

（2019年全国卷一22题）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.

（1）求C和l的直角坐标方程;

（2）求C上的点到l距离的最小值.

【思路点拨】

（1）利用消元法，可求出曲线C的直角坐标方程;再利用极坐标与直角坐标互相转换公式，可求出直线l的直角坐标方程;（2）用参数方程来表示曲线C上任意一点的坐标，再利用点到直线的距离公式则可把应求的距离转换成三角函数的形式，由三角函数的取值范围则可求出相应的最值。

【解析】

（1）由，得，且，又，故

，整理可得C的直角坐标方程为：;

又，故l的直角坐标方程为：.

（2）由（1）可设C的参数方程为：，（θ为参数，-π<θ<π）;

则曲线C上的点到直线l的距离，当，则有，此时d取得最小值，故.

求解此类问题，一是要熟练掌握参数方程与极坐标方程以及直角坐标方程之间的相互转换，二是要注意借助巧设参数，进而把问题转换成求解三角函数的最值。同时，也可看出，在2019年的全国卷一中，仍然延续了对于“坐标系与参数方程”部分的考查方向，侧重于学生对于问题的分析理解的考查、侧重于学生对于基本概念熟练掌握的考查、侧重于学生对于数形结合解决几何问题能力的考查。

作者简介：廖福辉（1985年）男，汉族，广东梅州，高中数学一级教师，任教梅州市五华县田家炳中学，现在职就读于云南师范大学数学硕士研究生