借助高考试题 提高高三数学复习效益

彭朴

摘要：把高考试题当作例题或习题来讲解，可以吸引学生的注意力，激发学生学习数学的积极性.笔者把2019年上海高考的第18题第（2）问作为例题，组织学生一起讨论、探究、交流，学生体验到解决高考题的乐趣和成就感，取得了良好的教学效果.高三复习课如果多给学生一点自由思考的时间，引导学生积极思考，激发他们探究的热情，鼓励他们大胆发表自己的见解，将有助于提高高三复习效益。

关键词：高考试题  零点  数学思想方法  效益

高考数学试题是命题者有意潜心研究、匠心独运、精心设计的精品，往往蕴含着丰富的数学基础知识和数学思想方法，具有很高的练习价值与研究价值.一直受到高三教师和学生的青睐，在高三复习时，教师喜欢把高考试题当作例题或习题来讲解，可以吸引学生的注意力，激发学生学习数学的积极性，培养学生解题的规范性，帮助学生领会数学思想方法，增强数学学习的能力，提高高三復习的效益.在高三复习函数零点时，笔者联想到2019年上海高考的第18题第（2）问考到了零点这个知识点，于是课堂上把这道题作为例题，组织学生一起讨论、探究、交流，取得了意想不到的教学效果.

一.高考试题

（2019年上海高考数学第18题）已知，.

（1）略

（2）若在时有零点，求的取值范围.

二、课堂实录

教师：在时有零点是什么意思？

学生：在有零点，即方程在时有解.

教师：对的，的零点就是方程的根，方程在时有解，如何求的取值范围，哪位同学来说说？

学生1：问题等价于在内有解，

当时，左边=，方程无解，舍去.

当时，由，得或，根据求根公式得：，，所以与至少有一个成立.

（1）若，即或

无解.

（2）若，即或，解得：.

综上，由（1）（2）知.

教师：好！你的解法很自然，直接把方程的根解出来，然后分类讨论，当方程的根至少有一个属于时，求出的取值范围，运用了方程、分类讨论的思想方法.其他同学有没有不同的解法？

学生2：我觉得学生1的解法涉及到解无理不等式，有点复杂，可以进行参变分离得，令，则函数在上单调递增，值域为，从而得：.

这时有一名女生迫不及待地举手示意要展示自己的解答.

学生3：我也是用参变分离的方法，不过我不是直接分离，而是先分离，再求的取值范围，，函数（）的值域为，所以，解得：.

教师：非常好！解法2和解法3，避开了分类讨论，直接把参数或分离出来，将方程的解的存在条件转化为求函数的值域，运用了函数与方程的思想方法，请问还有没有不同的解法？

这时，一位班级数学成绩中等，性格开朗的男生站起来.

学生4：我觉得他们3位同学的方法都有点复杂，我有更简单的方法，设，然后令.

这时班级里同学开始小声议论起来，有学生认为学生4的解法简单有效，妙！有学生认为高考题不会这么简单吧，但又找不到这样解的漏洞.

教师：学生4解答结果是对的，他的解法是否正确？请问学生4，你是怎么想到用这种方法的？

学生4：我是根据零点定理得到的，如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内至少存在一个零点，根据题目要求，只需即可.

教师：你们认同他的解法吗？

教室顿时气氛变得活跃起来，相互之间开始讨论，过了一会儿，数学课代表站起来发言.

学生5：我认为学生4的解答结果虽然正确，但方法不够妥当，因为零点定理只是说，可以断定函数在区间内至少存在一个零点，反过来，如果函数在区间内存在零点，推不出，比如，函数在上显然有零点，但.

教师：好！课代表发现了学生4解法的漏洞，是由于对零点定理的理解产生了偏差.既然学生4的方法是错误的，为什么他的解答结果却是正确的，你能解释一下原因吗？

学生5：记，所以只需二次函数在内有零点.

当时，左边=，方程无解，舍去.

当时，由，得或，要使得与轴的交点在内，分以下情况讨论：（1）或，解得：或.

（2）在内有零点.因为对称轴不在区间内，不可能有2个零点. 时，在内单调递增;时，在内单调递减.所以只需，解得：.

综上，

如果画出的图像，可以很容易发现的取值范围.

教师：好，你到黑板上画一下图，画完图以后，跟大家解释一下，其他同学在草稿纸上画图，观察一下图形的特征.

学生5：记，所以只需二次函数在内有零点.

由于此二次函数的对称轴为在区间外，所以函数在上具有单调性，且函数图像恒过点，如图1，从而在内有零点，等价于：，即，解得：.

教师：非常棒！学生5从数与形两个角度进行了分析，不仅找到了学生4的答案正确的原因是由于函数在上具有单调性，而且完善了学生4解法，给出了严谨的解法，请大家给他点个赞（此时教室响起热烈的掌声），大家还有没有其他的解法？

这时，班长举手示意.

学生6：我也是用数形结合的方法解的，不过所画图形与学生5不一样.

教师：你也到黑板上画一下，然后把你的解法分享给大家.

学生6：由移项得，原问题等价于当时，函数

的图像与函数的图像

有公共点.由图2可知，只需满

足时，两函数就

有公共点，解得.

教师：非常好！班长将方程的根的存在性问题转化为直线与部分双曲线的交点问题，从图上容易发现有交点的条件.

上课前，我完全没有意料到到你们会想出这么多好方法，为你们的精彩表现点赞！

三、思考

课前，我本想以例题的形式直接讲授这道高考试题的解答，后来，到了课堂上，我突发奇想，这道试题难度不大，学生会怎么解这道题？能否拿到满分？于是，我改变主意，自己不讲，让学生进行探究、讨论、交流，意料之外的是，学生会如此主动、积极参与教学，而且能想到多种方法.借助这道高考试题的探究，学生能正确掌握零点概念、零点定理，领会函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法，提升数学学习的能力，体验到解决高考题的乐趣和成就感，取得了良好的教学效果.

高三数学课由于复习的内容多、难度大、综合性强，教师上课节奏往往比较快，课堂上没有足够的时间留给学生思考、讨论、发言交流，这样的复习效果有时并不理想.如果教学中多给学生一点自由思考的时间，把课堂还给学生，注意倾听他们的声音，引导学生积极思考，点燃他们思维之火，激发他们探究的热情，鼓励他们大胆发表自己的见解，将有助于提高高三复习课效率.

参考文献：

[1]王剑明 2015年浙江卷文理“非线性”试题的探究 [J].数学教学，2016（4）：11-14

[2]陈晓明 一节令人难忘的数学公开课[J].数学教学，2016（7）：6-7