如何运用化归思想解高中数学题

张文娟

化归思想是转化和归结的简称.在解题中灵活运用化归思想，可以使问题由难化易，由繁化简.化归思想不仅是一种基本的思维策略，也是一种常用的解题方法，其关键是把问题等价转化成另一种形式来进行解答.常见化归思想的应用有数与形之间的转化、常量与变量之间的转化、相等与不相等之间的转化等.本文结合实例，来探讨一下化归思想在解高中数学题中的应用.

一、数与形之间的转化

数与形是数学中最常见的两种形式.利用图形可以使问题变得更加直观，结合数量关系式可以把问题中的内在关系呈现出来，两者之间相辅相成、不可分割.因此，在解题时，我们要利用化归思想，灵活进行数量关系式与图形之间的转化，提升解题的效率.

例1.已知a[>]0，b[>]0，且a≠b.试比较[a2+b22]和[2aba+b]的大小.

解析：如图，设[BC、AC]的长度分别为[a]、[b].因为[a≠b]，不妨设[a>b]，以[a]，[b]为直角边，作直角三角形[ΔABC]，则斜边[AB=a2+b2]，设[CM]、[CD]分别是[ΔABC]的[BC]边上的中线和角平分线，则[CM=a2+b22]，

由三角形的面积公式可得

[12a⋅CDsin45°+12b⋅CDsin45°=12ab]，

解得[CD=2aba+b].

显然，当 [a≠b]时，[CM>CD]，

所以[a2+b22>2aba+b].

该解法主要是利用化归思想，通过数与形之间的转化，将代数问题转化为几何问题来求解，该方法直观、便捷.本题也可以采用代数方法来求解.

二、常量与变量之间的转化

有些问题较为复杂，含有很多与常量、变量相关的问题，此时，我们若能将常量、变量进行适当的转化，有利于转换解题的思路，优化解题的方案.由于变量是一个不确定的量，所以在解题时，为了便于解题，我们可以利用化归思想，将变量视为常量，或者将变量转化为常量来求解.

例2.已知两点A（-1，0），B（0，2），点P是圆（x-1）2+y2=1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是（ ）.

解析：由于P是一个动点，我们无法确定它的位置，需要利用化归思想，将这个变量转化为常量，利用半径以及圆心到直线AB的距离来求解.

解：由题知，圆的半径为1，直线AB的方程为[x-1+y2=1]，即2x-y+2=0，

圆心（1，0）到直线AB的距离[d=2+25=455]，则点P到直线AB的距离最大值为[455+1]，最小值为[455-1]，

又[|AB|=5]，则[（S△PAB）max=12×5×455+1=12（4+5）]，

[（S△PAB）min][=][12][×][5][×]（[455-1）][=][12（4-5）].

三、相等与不相等之间的转化

相等与不相等之间的转化，常用于解答与不等式或者与等式有关的最值问题.在解题时，我们运用化归思想，将相等关系轉化为不相等关系，然后利用基本不等式、柯西不等式等来解答，或将不相等关系转化相等关系，利用方程思想来解答.

例3.已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证：[a2a+1+b2b+1≥1].

证明：∵[a>0]，[b>0]，[a+b=2]，

∴[a2a+1+b2b+1-1=a2（b+1）+b2（a+1）-（a+1）（b+1）（a+1）（b+1）]

[=a2b+a2+b2a+b2-ab-a-b-1（a+1）（b+1）=1-ab（a+1）（b+1）].

∵[a+b=2≥2ab]，∴[ab≤1].

∴[1-ab（a+1）（b+1）≥0]，∴[a2a+1+b2b+1≥1].

在解答本题的过程中，我们利用化归思想，根据相等关系式a+b=2，以及完全平方公式，通过通分将[a2a+1+b2b+1]化简，然后利用基本不等式来证明不等式[a2a+1+b2b+1≥1]成立.

总之，化归思想在解答数学题中应用广泛，是一种灵活、简便的解题方式.在运用化归思想时，同学们要注意展开联想，根据题目的已知条件或结论灵活进行等价变换，从而找准解题的方向.

（作者单位：江苏省高邮市临泽中学  ）