欧几里得几何简介

欧几里得几何简称“欧式几何”，是几何学的一门分支。欧几里得几何是平面和三维空间中常见的几何。欧几里得几何有时单指平面上的几何，即平面几何。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何。

公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德（Euclid，约公元前330-275年）写出了一部不朽之作《几何原本》。这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里得所有作品中最有价值的一部著作。在《几何原本》里，欧几里得系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。

《几何原本》伟大的历史意义在于：①建立了公理演绎体系，即用公理、公设和定义的推证方法;②将逻辑证明系统地引入数学中，确立了逻辑学的基本方法;③创造了几何证明的方法：分析法、综合法及归谬法。

欧几里得的《几何原本》共有13卷，有5條公设、5条公理、119个定义和465个命题，构成历史上第一个数学公理体系。其中第一卷讲三角形全等的条件、三角形边和角的大小关系、平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件;第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形;第三卷讲圆;第四卷讨论内接和外切多边形;第六卷讲相似多边形理论;第五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术的理论;最后几卷讲述立体几何的内容。

《几何原本》第一卷列有23个定义，5条公理，5条公设。全书以这些定义、公理、公设为依据展开其它各个部分的论述。也就是说，这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础。下面是其中的23个定义。

定义1：点不可以再分割。

定义2：线是无宽度的长度。

定义3：线的两端是点。

定义4：直线是点沿着一定方向及其相反方向无限平铺。

定义5：面只有长度和宽度。

定义6：一个面的边是线。

定义7：平面是直线自身的均匀分布。

定义8：平面角是两条线在一个平面内相交所形成的倾斜度。

定义9：含有角的两条线成一条直线时，其角成为直线角（现代称为平角）。

定义10：一条直线与另一条直线相交所形成的两邻角相等，两角皆称为直角，其中一条称为另一条的垂线。

定义11：钝角是大于直角的角。

定义12：锐角是小于直角的角。

定义13：边界是物体的边缘。

定义14：图形是一个边界或几个边界所围成的。

定义15：圆是由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。定义16：圆中心的点叫做圆心。

定义17：直径是穿过圆心、端点在圆上的任意线段，该线段将圆分成两等分。

定义18：半圆是直径与被它切割的圆弧围成的图形。半圆的圆心与原圆心相同。

定义19：直线图形是由线段首尾顺次相接围成的。三角形是由三条线段围成的，四边形是由四条线段围成的，多边形是由四条以上的线段围成的。

定义20：在三角形中，三条边相等的称等边三角形，两条边相等的称等腰三角形，各边都不相等的称不等边三角形。

定义21：在三角形中，有一个角为直角的是直角三角形;有一个钝角的称钝角三角形;三个角都为锐角的为锐角三角形。

定义22：在四边形中，四条边相等并四个角为直角的称为正方形;四角为直角，但边不完全相等的为长方形（也叫矩形）;四边相等，角不是直角的为菱形;两组对边、两组对角分别相等的为平行四边形;一组对边平行，另一组对边不平行的称为梯形。

定义23：平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线。

这些定义分为三类。第一类指明某些概念，比如定义1、2、5，明确给出了点、线、面（注意：欧几里得的线的概念也包含曲线）的概念。第二类是由原概念衍生的新概念。第三类是非实质性定义，从表面上看，这些定义是实质性的，其实不然，比如定义4中的直线为“点沿着一定方向及其相反方向无限平铺”，这一定义几乎是不可用的，最多指出将要讨论的线是直线。

五条公设分别是：

1.过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。

2.线段（有限直线）可以任意地延长。

3.以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆（圆公理）。

4.凡是直角都相等（角公理）。

5.两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小于两个直角，则两直线则会在该侧相交。

上述前三条公设是尺规作图的基础理论，用来确定直线与圆的位置和形状。第四条公设比较特别，它好像是一个未证明的定理。事实上，它明确指出了：直角的不变性或空间的齐性（the homogeneify of space）。它规范了直角，为第五公设的创立铺平了道路。

第五公设又叫做平行公设fthe parallel axioml，因为它等价于：在一平面内，过直线外一点，可作且只可作一条跟此直线平行的直线。平行公设引发了几何史上最著名的长达两千多年的讨论。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公设，但都没有成功。19世纪，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（Nikolay IvanovkchLobaehevski）、匈牙利人波尔约（Bolyai）阐明第五公设只是公理系统的一种可能的选择，并非必然的几何真理，也就是说“三角形内角和不一定等于一百八十度”，从而发现非欧几里得的几何学，即“非欧几何”（non-Euclidean geometry）。

而五条一般公理是：若a，b，c，d皆为正数，则有

1.跟同一个量相等的两个量相等，即若a=c且b=c，则a=6（等量代换公理）。

2.等量加等量，其和相等，即若a=b且c=d，则a+c=b+d（等量加法公理）。

3.等量减等量，其差相等，即若a=b且c=d，则a-c=b-d（等量减法公理）。

4.完全叠合的两个图形是全等的（移形叠合公理）。

5.全量大于分量，即a+b>a（全量大于分量公理）。

利用这23个定义、5条公设与5条公理，我们就可以推导出：等腰三角形的正逆定理，三角形三内角和定理，进一步还可以推导出泰利斯（Thales）基本定理，用同一种正多边形铺地板只有三种样式，拼成的正多面体恰好有五种。事实上，利用这23个定义、5条公设与5条公理已经可以推导出整个欧式几何中的所有结论了。

从这些内容可以看出，目前中学课程里初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。

在证明几何命题时，每一个命题总是由前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如“两点确定一条直线”即是一例。同样对于概念来讲，也有些不加定义的原始概念，如点、线等。在一个数学理论系统中，我们尽可能少地选取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。欧几里得采用的正是这种方法。他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。他以公理、公设、定义为要素，作为已知，先证明了第一个命题。然后又以此为基础，来证明第二个命题，如此下去，证明了大量的命题。其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止。

关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所謂分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤;综合法是从以前证明过的事实开始，逐步导出要证明的事项;归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。

欧几里得的逻辑证明不止是单独一个命题的前提与结论之间的联结，而是所有几何命题的联结成的逻辑网络。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的系统。因而在数学发展史上，欧几里得被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范。

而作为完成公理化结构的最早典范——《几何原本》，用现代的标准来衡量，在逻辑的严谨性上还存在着不少缺点。如一个公理系统都有若干原始概念f或称不定义概念），如点、线、面就属于这一类。欧几里得对这些都给出了定义，但定义本身含混不清。另外，其公理系统也不完备，许多证明不得不借助于直观的图形来完成。例如，在任意直线段上可作一等边三角形。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。此外，个别公理不是独立的，即可以由其他公理推出。这些缺陷直到1899年德国数学家希尔伯特在其《几何基础》出版时得到了完善。在这部名著中，希尔伯特成功地建立了欧几里得几何完整、严谨的公理体系，即所谓的希尔伯特公理体系。这一体系的建立使欧式几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系，也标志着欧式几何完善工作的终结。