刘徽的数学成就

贾辉明

刘徽是中国古代伟大的数学家之一，

他是三国时代魏国人，籍贯山东，生卒年不详，约死于西晋初年，刘徽出身于平民，终生未仕，被称为“布衣”数学家。

刘徽在童年时代就学习过《九章算术》，成年后又对该书进行了深入的研究，于公元263年左右写成《九章算术注》，刘徽在其自序中说：“徽幼习《九章》，长再详览，观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注，”刘徽在研究《九章算术》的过程中，对其中的重要结论一一进行了证明，并纠正了书中的一些错误，总结出了一些新的结论，《九章算术注》是刘徽留给后世十分珍贵的数学遗产，是中国传统数学理论研究的奠基之作。《重差》是刘徽的另一部著作，专讲测量问题，《重差》是《九章算术注》的第十卷，唐代初，人们将其改成单行本，并改名为《海岛算经》。

从刘徽的著作来看，他学风严谨，实事求是，富于批判精神，敢于创新，对理论的研究相当深入，堪称数学史上的楷模。

一、《九章算术注》

1.算术

（1）十进分数

（2）齐同术

《九章算术》中虽有分数通分的方法，但没有形成完整的理论体系，刘徽提出了齐同术，使这一理论趋于完善，他说：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同，”它的意思是，一个分数用同一个（非零）数一乘一除，其值不变，并且，他还提供了通分后数值不变的理论依据，另外，刘徽利用齐同术解决了盈不足问题。

2.代数

（1）定义正、负数

《九章算术》成书后，正、负数虽然被应用于更为广泛的领域，却还没有明确的定义，刘徽在《九章算术注》中首次明确地给出了正负数的定义：“今两算得失相反，要令正负以名之，”这就是说，正负数表示的是相反的两个量，他还进一步阐述了正负的意义：“言负者未必负于少，言正者未必正于多，”即负数的绝对值未必少，正数的绝对值未必大，另外，他又介绍了筹算中表示正负数的两种方法：一种是用红筹表正数，黑筹表负数;另一种是用算筹中的正、斜摆法来表示正、负数，这两种方法，对后世数学的发展都产生了深远的影响。

（2）简化线性方程组的解法

《九章算术》中记载了用直除法解线性方程组的方法，但该方法比较麻烦浏徽在方程章的注释中，给出了简化后的直除法，并创立了互乘相消法，例如方程组。

显然，这种方法与现代解方程的方法是一致的，不过那时用的是筹算，刘徽认为，这种方法可以推广到解多元方程问题：“以小推大，虽四、五行不异也，”他还进一步指出，在“相消”时，要注意看两方程首项系数的同异，同则相减，异则相加。

（3）总结出初步的方程理论

刘徽在《九章算术》方程章的基础上，提出了更为全面的方程理论，刘徽所谓的“程”是程式或关系式的意思，相当于现在的方程，而“方程”则相当于现在的方程组，他说：“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程，”这就是说：“有两个所求之物，需列两个程;有三个所求之物，需列三个程，程的个数必须与所求物的个数一致，诸程并列，恰成一方形，所以叫方程，”这里的“物”，实质上是未知数，只是当时还没有未知数的概念，定义中的“皆如物数程之”是十分重要的，它与刘徽提出的另一原则“行之左右无所同存”，共同构成了方程组有唯一组解的条件，若译成现代数学语言，即方程的个数必须与未知数的个数一致，任意两个方程的系数不能相同或成比例，刘徽还认识到，当方程组中方程的个数少于所求物的个数时，方程组的解不唯一;如果是齐次方程组，则方程组的解可以成比例地扩大或缩小，即“举率以言之”。

对于方程组的性质，刘徽总结出如下诸条：“令每行为率”，即方程中的各项成比例地扩大或缩小，方程组的解不变;“在每一行中，虽复赤黑异算，无伤”，即方程的各项同时变号，方程组的解不变;“举率以相减，不害余数之课也，即两方程的对应项相减，方程组的解不变彳艮明显，刘徽已经基本掌握了线性方程组的初等变换方法，不过，他没有想到交换两个方程位置的情况，因为不进行这种变换亦可顺利求出方程组的解。

3.几何

（1）割圆术

对于开方不尽的问题，刘徽认为求出的位数越多，所得到的值就越接近真值，但永远不会达到真值，只能根据需要达到“虽有所弃之数，不足言之也”的程度，刘徽正是在这种观念的基础上创立十进分数的，他在证明有关体积的定理（如阳马定理）时也用到了极限，并指出，极限问题“谓以情推，不用筹算”，这就是说研究极限依靠的是推理，而不是计算，

二、刘徽的重差术

重差术是中国古代一种重要的测量方法，用以测量不可到达的距离，刘徽写出了重差术专著——《海岛算经》（即《重差》），他在序言中说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差，”全书只有九道题，但都很有代表性。

例如第一题（译为今文）：为测量海岛，立两根3丈高的标杆，前后相距1000步，令后杆与前杆对齐，从前杆后退123步，人眼着地看岛峰，视线正好过杆顶，从后杆后退127步，人眼着地看岛峰，视线也过杆顶，问岛高和岛离杆的距离各是多少？

按题意画图如下：

因公式中用到d（两杆与岛的距离差）和a1-a2两差之比，所以叫重差术，这是书中最简单的一题，只需测望二次，对其他的问题往往要测望三次或四次，但原理与本题相同。

如果用三角知识去解答重差问题，其结果也是一样的，中国传统数学中无三角，重差术便起着与西方平面三角类似的作用，这是中国数学的特色之一。

三、劉徽的学术思想

刘徽之所以能在数学上取得卓越成就，与他先进的学术思想是分不开的，概括起来说，他的学术思想有如下几个特点。

1.富于批判精神，刘徽在数学研究中不迷信权威，也不盲目地踩着前人的脚印走，而是有自己的主见，他曾一针见血地指出张衡关于球体积观点的不正确之处，批评了固守古人“周三径一”的“踵古”思想，说：“学者踵古，习其谬失，”正是因为具有这种可贵的批判精神，他才在研究《九章算术》时发现了许多问题，通过深入探讨，写出名垂千古的《九章算术注》。

2.注意寻求数学知识内部的联系，刘徽在《九章算术注》的序言中说：“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已，”不难看出，他的整个数学研究中都贯穿了这一思想，例如，他把许多平面几何问题归为出入相补问题，把许多体积公式的推导归为刘徽原理的应用问题，把各种比例问题归为今有术问题，以及用重差术的一般方法解决各种测量问题等，都是这一思想的体现。

3.把数学的逻辑性和直观性结合起来，刘徽主张“析理以辞，解体用图”，就是说对问题的理论分析要用明确的语言表达出来，空间图形的分解情况要用图形显示出来，也就是理论和直观并用，他认为只有这样才能使数学中的知识、结论、原理等表达形式既简洁又明白，实际上，他对原书和《九章算术注》中提出的重要数学概念，都给出了明确的定义，他对定理、公式的证明基本上都采取演绎法，推理相当严密，例如，他从长方体的体积公式出发，运用极限观念，证明了阳马定理，又用阳马定理证明了棱锥、棱台的体积公式，然后根据刘徽原理推出圆锥、圆台的体积公式，都是一环扣一环的，另一方面，刘徽也很注意数学的直观性，他常借助图形来证明平面几何定理，称为图验法;借助立体模型来研究开立方和推导体积公式，称为棋验法（刘徽称特定的立体模型为棋），有时，他还在证明的过程中辅之以剪贴和涂色，总之，他在数学研究中既注意逻辑推理，又注意运用直观手段，所以他的理论清晰易懂。

刘徽思想敏捷，既提倡推理又主张直观，他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，刘徽的工作，不仅对中国古代数学的发展产生了深远的影响，在世界数学史上也具有极高的地位。