高中物理求极值的方法

陈德炜

摘 要：极值问题是高中物理的一类典型问题，在力学、电学等部分皆有出现。这类问题综合性强，要求学生在熟练掌握物理概念和物理规律的前提下，又能对其灵活应用，考察学生的理解能力、推理能力、分析综合能力以及应用数学处理物理问题的能力。因此掌握求物理极值的方法是解决该类问题的重要途径。

关键词：物理极值问题;数学方法;物理方法

高中物理的极值问题就是某个物理量在变化的过程中会出现极大值或极小值的问题。求极值本来就是一个数学中的常见问题，而物理中的极值问题则需要将物理知识与数学知识进行融合。先利用物理知识找出变化物理量遵循的规律，再利用数学知识求解极值。该类题综合性较强，且对数理结合能力要求较高，因此对多数学生而言此类问题难度较大，是高中物理教学的一个难点。要想突破此难点，就得掌握求物理极值问题的方法，并加以灵活应用。解决物理極值问题的途径有两条：一条是把物理问题转化为数学问题即求出所需求极值的这一物理量的函数表达式，然后利用数学方法求出极值;另一条是分析物理过程，根据物理规律找出何时出现极值及其满足的物理条件，再由此条件进行求解。下面通过例题具体介绍两种求物理极值问题的方法。

一、应用数学方法求极值

例1.如图所示的电路中，已知电源电动势E和内阻r，R为滑动变阻器，求此电源的最大输出功率。

例2.如图1所示，质量为m的小球a用细线相连并悬挂于O点.现用一轻质弹簧给小球a施加一个拉力F，使整个装置处于静止状态，且Oa与竖直方向夹角为30°，已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，求拉力F的最小值。

解法1.正弦定理

解：如图2所示，利用平行四边形定则做出细线拉力和弹簧弹力的合力，由平衡条件可知合力与重力等大反向。在力的三角形ΔABC中，由正弦定理可得则由此表达式判断出，当sinθ=1即θ=90°时，

解法2.图解法

解：根据平行四边形定则做出平行四边形，如图3所示，可得当弹簧拉力F与细线拉力垂直时，拉力F最小，

二、应用物理方法求极值

例3.如图所示，一劲度系数为k，原长为l0的轻弹簧下端固定在水平面上，一个质量为m小球从轻弹簧正上方某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧后小球继续向下运动至最低点。求这一过程中小球速度达到最大的位置。

解：通过受力分析可知，小球接触弹簧以后，刚开始小球重力大于弹簧弹力，小球所受合力向下，根据牛顿第二定律，随着形变量x的增加，加速度a逐渐减小，故小球先做加速度减小的加速运动。当弹簧弹力大于小球重力以后，同理根据牛顿第二定律，可知小球做加速度增大的减速运动，直到减速至零到达最低点。综上分析，当小球重力等于弹簧弹力时即加速度为零时，小球速度最大。因此速度最大时有，此时弹簧长度为，即小球运动到离水平面距离为时速度最大。

从此题可以看出，当物体做直线运动时，若速度是连续变化的，则当加速度为零时，速度取极值，也可通过v-t图像得出此结论，如下图所示，

甲、乙图线当斜率（斜率表示加速度）为零时，速度取到极大值和极小值。

例4.如图所示，用长为L的细线悬挂一质量为m，带电荷量为+q的小球，将其置于方向

水平向右且大小为E的匀强电场中。现将小球从悬点正下方的A处静止释放小球。求小球速度最大时细线拉力与竖直方向的夹角。

解：通过受力分析可知，重力与电场力均为恒力，因此它们的合力也为恒力F。

小球做圆周运动，细线拉力方向始终与速度方向垂直，因此细线拉力不做功，会做功的是恒力F，即W合=WF，恒力F先做正功后做负功，根据动能定理可知，小球动能先增大后减小即速度先增后减。当恒力F与速度方向垂直时，此时恒力F方向与细线拉力共线即合力与速度方向垂直时，速度达到最大。此时夹角满足。

从此题可以看出，当物体做曲线运动时，当合力方向与速度方向垂直时，速度取极值。

从上述几道例题可以看出，应用数学方法求物理问题的极值时，关键在于要将求极值的对象所满足的物理规律转换成数学问题。而应用物理方法求极值问题时，必须在弄清题意的条件下灵活地利用物理规律分析判断出取极值的物理条件，对学生应用物理知识分析问题的要求更高。

参考文献

[1]孙秀娥.高考难点探究—高中物理极值问题求解方法研究[J]。新课程导学.2011（11）

[2]高等数学[M].北京：高等教育出版社.2002