解答排列组合问题的常见技巧

吕相红

排列组合是高中数学中的重点内容，具有较强的抽象性和灵活性，很多同学在解答排列组合题时经常会得出各种错误的答案，针对这种情况，笔者对排列组合问题的常见解题技巧进行了总结，以供大家参考。

一、位置优先法

位置优先法也称为特殊元素法，是优先考虑有特殊要求的元素或者位置的方法，该方法主要适用于对某些元素有特殊要求的排列组合问题，在运用位置优先法解题时，我们首先要明确有特殊要求的元素或者位置，将其优先排列，然后再处理其他没有要求的元素。

例1.由0-5个数字组成没有重复字数的五位数，且这个五位数为奇数，那么一共有多少个这样的数字？

解析：该五位数为奇数，对数字的首位数与个位数有特殊要求，我们需要运用位置优先法来解题，它的个位数必须为奇数，只能为1.3.5.有三种选择;而首位数不能够为0.只能取1.2.3.4.5.有5种选择，然后我们再处理剩余的元素。

解：如图1.首先，对个位数字进行排列，一共有c3种排列;

然后，对首位数字进行排列，一共有c4种排列;

最后，对中间的数字进行排列，一共有A4种排列;

由分步计数原理可得C4C3C4=288种排列，即一共有288个这样的数字。

二、穷举法

穷举法主要就是结合具体的解题需求，将研究对象一一罗列出来，之后逐一对其进行分析、加工，判断其结果是否满足题设条件，该方适用于较为复杂的排列组合问题。

例2.现有编号为1-5的5个小球，若将这5个球投入到1.2.3.4.5的5個小盒子中，要求每个盒子中有且只有1个球，则恰好有两个盒子的编号与投入小球编号相同的投放方法多少种？

解析：若从5个小球中选择两个，将其与编号相对应的盒子放在一起，则一共有c5种方法，然后将剩余的3个小球放入剩余的三个盒子中，且使小球的编号与盒子的编号不同，如图2.当3号小球投入到4号盒子时，剩余两个小球有且仅有一种放置方法，同理将3号小球放入到5号盒子中，剩余两个小球有且只有一种放置方法，则共有2C5=20种投放方法。

三、先选后排法

先选后排法一般用于较为复杂的排列组合混合问题，在解题时，我们需要认真审题，分析其中的元素，先选定需要排列的对象，之后再对其进行排列，解题会用到分步计数原理和分类计数原理。

例3.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有__种。

解析：本题需要分两种情况：

（1）在一个城市投资2个项目，在另一城市投资1个项目，将项目分成2个与1个，有c33种;在4个城市当中，选择2个城市作为投资对象，有A4=12种，这种情况共有3×12=36种。

（2）有三个城市各获得一个投资的项目，获得投资项目的城市有c4=4种;安排项目与城市对应，有A3=6种，这种情况共有4x6=24种。

综上，该外商不同的投资方案共有36+24=60种，

本题主要运用先选后排法解题，我们首先需要选出在4个城市投资的方案，然后再进行排列。

四、求幂法

求幂策略主要适用于重排问题，重排问题是指将n个元素重新排列，且每个元素均不受位置的限制，可以逐一安排位置的问题，一般地，将n个没有限制的元素安排到m个位置上有m种排列方法，

例4.将7个人分为两组，第一组3人，第二组4人，则有多少种排法？

解析：本题属于重排问题，可以分两步完成，首先，先选a、b、c作为第一组，排列方法为A3种;然后排第二组，第二组有4人，排列方法有A4种，由分步计数原理可得共有A3-A4=5040种方法，

要想成功地解答排列组合问题，同学们需要仔细分析题目的条件，确定问题的类型，然后选择相应的方法来解题，梳理好解题的思路是解答排列组合问题的关键。

（作者单位：江苏省滨海县八滩中学）