复数在解题中的运用

刘建国

摘 要：复数的代数、向量以及几何表示把复数与实数、向量、三角和解析几何有效的联系起来，因而复数在求解代数、三角、向量和解析几何问题中有着广泛的运用，笔者借助于数学中的这种对应思想阐述复数在解题中的运用，解决高中的一些数学问题。

关键字：复数;复数几何;表示对应思想解题

复数可以由一个有序实数对唯一确定，使得我们借助于复平面来表示复数，复数的几何表示与向量以及解析几何本质上都是表示在平面直角坐标系两个变量，将平面直角坐标系看作复平面，则复数对应于坐标系的一个点，因而复数与有序实数对是一一对应的，那么在平面直角坐标系中的一些问题，也可以借助于复数的知识解决，这种对应思想是数学中解题常用的思路，它使得各个数学对象能够相互转化，相互结合和深入，在解题方法上呈现多样化，也是体现数学知识内在的联系，而非一个个孤立的知识点.

例1（2019全国卷I）设复数z满足|z-i|=1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）

A.（x+1）2+y2=1 B.（x-1）2+y2=1

C.x2+（y-1）2=1 D.x2+（y+1）2=1

解z=x+yi，所以|x-1+yi|=1，即：（x-1）2+y2=1.

上题主要考察复数的几何意义，在复平面上的一个复数对应于平面直角坐标系中的一个点，它表明点（x，y）的横纵坐标之间的关系满足一个圆的关系，那么对于一般的圆锥曲线上点的横纵坐标也满足一个方程的关系，曲线上的点同样也可以用复数表示，这种思路可以帮助我们解决一些圆锥曲线问题，如：

解析几何一直是高考的一个重点与难点，其主要考察的是直线与圆锥曲线、圆的一些问题，对于直线方程，我们可以借助于复数的知识，利用复数表达直线方程：设z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，在复平面上所在的直线方程为：z-z2=t（z1-z2）（其中t为参数t∈R）.这个方程可以帮助我们解决圆锥曲线与直线的相关问题.如：

例2（2019江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦点为F1（-1，0）.F2（1，0），过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，与圆F2：（x-1）2+y2=4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1，已知

（1）求椭圆C的标准方程

（2）求点E的坐标

解（1）由题意可知：c=1，，则D对应的复数为，F1对应的复数为，，于是有：，解得：a=2或（舍），于是=b2=a2-1，即：b2=3，所以椭圆方程为.

（2）根据题意圆F2：（x-1）2+y2=16，其参数方程为，椭圆的参数方程为根据题意A（1，4），设A，B，E对应的复数为ZA=1+4i，ZB=4cosθ+1+i4sinθ，ZE=2cosφ+isinφ，∵A，B，F1三点共线，（t为参数），将上述复数代入可知：根据复数相等的充分必要条件可知，sinθ=t，∵cosθ2+sinθ2=1，即，∴t=1或，∴ZB=1+4i（舍）或，又∴B，E，F2三点共线，（λ为参数），代入可知：，，同上解得，或，或，E在第三象限，，则.

在平面直角坐标系中，利用单位圆引入了三角函数，单位圆上的复数可以表示成三角函数和的形式，即，根据复数的三角式运算法则及棣莫弗定理，正是复数与三角函数的这种对应，在解题上给了我们一定的启发与思考，不妨借助于复数的知识解决三角函数的有关问题.三角函数在解三角形中有着广泛的应用，因而复数也可以运用于解三角形，在三角函数与解三角形的本质上是复数的三角表达形式与复数的性质处理三角函数的问题。

参考文献

[1]苗慶硕，蓝云波.例谈利用复数解题的几种新视角[J].数学教学，2019（12）：21-24.

[2]彭翕成，张景中.点几何的解题应用：复数恒等式篇[J].数学通报，2019，58（05）：1-4.