浅议导数在竞赛中的解题应用策略

郭铭纪

摘 要：导数是高中數学的重点知识，是学习微积分的重要桥梁.在一些竞赛中常涉及导数的应用，技巧性较强，很多学生不知所措，失分较为严重.为提高导数应用水平，灵活解答相关竞赛试题，在竞赛中取得理想成绩，教学中应围绕具体试题讲解，与学生一起总结导数在解题中的应用策略.

关键词：高中数学;导数;竞赛;解题;应用策略

一、夯实基础，正确求导

解答该类试题的策略一般应牢记以下内容：其一，保证求导结果的正确性.同时，注意函数的定义域，为后面的解题奠定基础.其二，在涉及参数的函数中，进行分类讨论.

例1 （2019年全国数学联赛广西赛区预赛）已知函数f（x）=（a+1a）lnx+1x-x.

（1）设a>1，讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性.

（2）设a>0，求f（x）的极值.

二、灵活应变，巧妙转化

解答部分高中数学竞赛试题时，需要在认真审题基础上，融汇贯通所学，突破惯性思维，才能找到解题思路.一方面，深入分析题干问题，能够透过现象看本质，结合问题形式，大胆设想，通过构造函数，运用导数进行分析.另一方面，解题时应认真推理，确保上下推理的严谨性，尤其有“=”存在时，应明确“=”成立的条件.

例2 （2019年全国数学联赛福建赛区预赛）已知

三、注重拓展，提升能力

为使学生能够运用导数顺利解答高中竞赛中一些难度较大的题目，一方面，深入讲解导数表示的几何含义，理解导数的本质，保证在解题中正确运用.另一方面，适当为学生讲解一些拓展内容，如为学生讲解导数的导数，并结合相关竞赛试题的讲解，使学生牢固掌握，在竞赛中能够迅速找到解题思路.

例3 （2018年河北高中数学竞赛）已知曲线f（x）=ex-1和曲线g（x）=lnx，分析两个曲线的公切线的条数.

综上可知方程ex-1-xex-1+a=0有两个不同的根，因此，两条曲线的公切线共有两条.

参考文献：

[1]李世明.高中数学解题中的导数应用研究[J].数学学习与研究，2019（11）：135.

[2]邱廷月.例说导数几何意义在解题中的应用[J].数学学习与研究，2019（04）：96-97.

[3]王秀凤.例谈构造函数在导数解题中的应用[J].课程教育研究，2018（32）：104-105.

[责任编辑：李 璟]