高中数学解题中等价转化思想的应用研究

江海波

摘 要：解答高中数学习题时，引导学生运用一些解题思想，可使其少走弯路，快速得出正确结果，促进学生解题能力的提升.其中等价转化思想在解答数学习题中较为常用.为提高学生应用该思想的意识与能力，授课中既要注重讲解该思想的一些理论知识，又要讲解相关例题，给其更好的应用于解题中提供参考.

关键词：高中数学;等价转化思想;应用;研究

等价转化思想是指运用所学知识将原来难度大，不易解答的问题转化为难度小，方便解答问题的一种思想.高中数学解题中应用的等价转化思想分类较多，主要包括等体积转化、正与反的转化、方程根与图象交点的转化等.为保证解题的正确性，转化后不能改变问题的本质.

一、等体积转化的应用

等体积转化在高中数学立体几何习题中较为常用.该类转化思想的应用难度并不大，应用时应把握“等体积”这一关键.授课中为提高学生应用该等价转化思想解题的意识，应为学生总结该思想能够解答的问题，包括几何体的体积、点到面的距離、几何体某一面的面积等.另外，在课堂上讲解相关例题，使学生体会转化的具体过程，更好地消化、吸收这一重要的转化思想.同时，思考该思想适用的题型，遇到类似题型，及时找到解题思路，少走解题弯路.

例1 如图1，在棱长为1的正方体

ABCD-A1B1C1D1中，AA1和B1C上分别存在E、F两点，则三棱锥D1-EDF的体积为（）.

A.1B.12

C.14D.16

该题难度并不大，关键在于找到正确的解题思路.因E、F两点在AA1和B1C上的具体位置未知，因此，采用直接法难于求解.此时可考虑等体积转化法求解，即借助VD1-EDF=VF-EDD1进行解答.

由图不难得出S△EDD1=12×D1D×AD=12.而点F到面EDD1的距离为AB=1，则VF-EDD1=13×S△EDD1×AB=13×12×1=16.D为正确选项.

应用等体积转化思想解答数学习题时应具备灵活的头脑，既要能够从整体上把握题干，又要充分挖掘隐含条件，做好巧妙的转化，降低解题难度.正如上题之所以将三棱锥置于正方体之中，实则间接地告知学生点F和底面EDD1的距离为1.

二、正与反转化的应用

正与反的转化属于等价转化的一种，在高中数学解题中应用范围较广，既可用于解答集合习题，又可用于解答函数、概率等问题.为使学生感受到正与反转化在解题中的简便之处，应结合学生所学做好相关例题的讲解，给其以后应用于解题中带来良好启发.同时，鼓励学生多做训练，能够根据问题的正面，准确地找到其反面，如此才能保证转化后解题结果的正确性.

例2 已知m∈R，已知命题P：|m-5|≤3.命题Q：函数f（x）=3x2+2mx+m+43有两个不同的零点，求使命题“P或Q”为真命题的实数m的取值范围.

命题“P或Q”为真命题存在三种情况，讨论起来较为麻烦，容易出错，因此可将其转化成命题的反面，得出结果取反，则能在保证结果正确的基础上大大提高解题效率.

针对命题P不难求出m的取值范围为：2≤m≤8.命题Q中要想满足函数f（x）=3x2+2mx+m+43有两个不同的零点，则应满足Δ=4m2-4×3×（m+43）>0，得到m>4或m<-1.当两个命题均为假，则满足m<2或m>8，-1≤m≤4，得到-1≤m<2，则满足题意的m的取值范围应为（-∞，-1）∪[2，+∞）.

运用正与反转化解答有关命题的习题时应具体情况具体分析，思考从正面解答是否进行分类讨论.如需要考虑的情况较多则应进行转化，从反面入手解答即可，应用中不可思维定势，生搬硬套.

三、方程根与图象交点转化的应用

方程的根与函数图象交点关系密切，将两者进行转化在解题中较为常见.为使学生掌握相关的转化思路，灵活应用于解题中，授课中讲解转化的注意事项，对方程进行适当的移项，找到两个函数.同时，绘制函数图象前应充分挖掘题设隐含条件，找到准确的定义域范围，保证函数图象绘制的正确性.另外，结合具体的问题情境，为学生讲解方程根与函数图象转化的具体应用，使其通过听讲，准确把握转化的一些细节.

根据经验求解方程根的个数通常转化为两个函数的图象交点问题.题目中f（x）为分段函数，而g（x）函数并未直接给出，因此，解题的关键在于确定函数g（x）表达式以及绘制函数图象上.

图2根据函数f（x）的表达式求出函数g（x）的表达式.当2-x≤2，即当x≥0时，g（x）=3-（2-|2-x|）=|x-2|+1.当2-x>2，即x<0时，g（x）=3-（2-x-2）2=-x2+3.在同一平面直角坐标系中绘制出两个函数的图象，如图2所示，两个函数图象的交点为两个，对应f（x）-g（x）=0根的个数为2个.

运用方程根与函数图象交点转化思想解题时，先不要急于动笔，应认真观察，将原方程拆分成熟悉的函数，或确定未知函数的表达式，而后根据所学绘制函数图象，找到函数交点问题也就迎刃而解.

等价转化思想是解决数学问题的重要思想之一.为使学生牢固掌握该思想，灵活用于解题中，授课中应做好常用等价转化思想的汇总与相关知识的讲解，并结合例题讲解其具体应用，给学生更好的应用于解题中带来良好的示范，使其把握该思想在解题中的应用关键.

参考文献：

[1]吕丽.等价转化思想在高中数学解题中的应用[J].中国校外教育，2019（29）：79-80.

[2]薛豪.等价转化思想在高中数学解题中的应用[J].科学大众（科学教育），2019（03）：19.

[3]杨新运.等价转化思想在高中数学解题中的应用[J].福建基础教育研究，2017（10）：61-62，65.

[责任编辑：李 璟]