例说向量坐标运算在解题中的应用

田素伟

摘 要：本文介绍了用向量的坐标运算解答向量问题的方法，对优化思维方法十分有益.

关键词：向量;坐标;运算

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0052-03

向量知識是中学数学中的重要知识，与三角、代数、几何有密切的联系.向量是融数与形于一体的知识，既具有几何形式又具有代数形式，是中学数学知识中多种知识的交汇点，成为联系众多数学知识点的桥梁.在近几年高考数学题中以向量为载体的题目越来越多，向量的坐标运算很好地体现了数形结合的思想方法.如果在向量的题目中能恰当地利用向量的坐标运算来解决向量的问题会起到简化运算的效果，有的题目会起到令人拍案惊奇之感.利用向量的知识培养学生的思维能力，这样可以加强学生对数学思想方法的理解，还可以培养学生的思维能力.下面以具体的题目来看一下向量的坐标运算在向量问题中的应用.

例题1 （2009年高考安徽卷理第14题）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.如图1所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，则x+y的最大值是.

解法1 设∠AOC=α.

OC·OA=xOA·OA+yOB·OA，OC·OB=xOA·OB+yOB·OB，

即cosα=x-12y，cos（120°-α）=-12x+y，

∴x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=cosα+3sinα=2sin（α+π6）≤2.

如果我们用上面的解法可以解答这道题，但是，有的学生可能想不到把已知的条件等式两边取数量积，（本题还有其他解法）或者无从下手去解答，能不能用转化为坐标运算来解决呢？（设置问题情境让学生认识到各个知识之间的联系，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物观主义观点）如果适当地建立平面直角坐标系，把向量的问题转化为向量的坐标运算，实现问题的转化与变通，把向量的几何特征转化为代数形式，给解答问题带来新的思路.这样可以激发学生的学习兴趣，提高学习效率，在知识的迁移中进行创造性的学习，达到传授知识与培养学生能力融为一体的目的.下面我们用向量的坐标运算来解答本题.

解法2 以O为原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.

设∠AOC=θ，

A（1，0），C（cosθ，sinθ），B（cos120°，sin120°），

OC=（cosθ，sinθ），

OA=（1，0），

OB=（cos120°，sin120°）=（-12，32）.

∵OC=xOA+yOB，

∴（cosθ，sinθ）=x（1，0）+y（-12，32），

∴cosθ=x-12y

，sinθ=32yx=cosθ+13sinθ，

y=23sinθx+y=3sinθ+cosθ=2sin（θ+π6）≤2.

让学生熟练应用建立平面直角坐标系，体会向量坐标运算的优势：思路明确，过程简捷.这样可以激发学生的学习兴趣，提高学习效率，在知识的迁移中进行创造性的学习，达到传授知识与培养学生能力融为一体的目的.

利用向量的坐标运算解决向量问题的优势在于将向量的几何特征转化为代数特征，运算过程也随之变得简单化、程序化，从而减少思维难度，起到事半功倍的效果.这样，把代数、几何、三角知识融为一体，深化了基础知识和 基本技能，激化了学生的思维.

例题2 （2014高考上海卷第17题）如图2，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，Pi（i=1，2，…，7）是小正方形的其余的顶点，则AB·APi（i=1，2，…，7）的不同值的个数为（）.

A.7B.5C.3D.1

如果用这种方法来解上海高考题是不是可以呢？以此来激发学生的学习兴趣，提高学习效率，在知识的迁移中进行创造性的学习，达到传授知识与培养学生能力融为一体的目的.

解析 以A为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则

A（0，0），B（0，2），P1（0，1），P2（1，0），P3（1，1），P4（1，2），P5（2，0），P6（2，1），P7（2，2），

可知AB=（0，2），AP1=（0，1），AP2=（1，0），AP3=（1，1），AP4=（1，2），AP5=（2，0），AP6=（2，1），AP7=（2，2）.

所以AB·AP1=2，AB·AP2=0，AB·，AP3=2，AB·AP4=4，AB·AP5=0，AB·AP6=2，AB·AP7=4.

由此可知AB·APi（i=1，2，…，7）的值有0，2，4，所以有三个不同的值.

让学生经历主动观察、大胆猜想、积极验证，顺利得出向量的坐标，突出重点.同时培养学生的观察能力、推理能力、逻辑思维能力. 通过建立恰当的平面直角坐标系，首先设出点的坐标，得出向量的坐标，再转化为向量的坐标运算.这样把向量的运算转化为一种程序化的运算.用建立平面直角坐标系，转化为向量坐标运算的优势是思路明确，过程简单，思考的难度小.帮助学生把所学知识纳入知识体系，形成良好的认知结构，有益于学生对知识的巩固、理解和掌握.

例题3 （2014高考天津卷第13题）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，

点E，F分别在边BC、DC上，BC=3BE，DC=λDF.若

AE·AF=1，则λ的值为

.

解析 以AC所在直线为x轴， BD所在直线y为轴建立如图3所示平面直角坐标系坐标系， A-1，0、B0，-3、C1，0、D0，3，设Ex1，y1，Fx2，y2，

可得

BC=（1，3），

BE=（x，y1+3），

DC=（1，-3），

DF=（x2，y2-3）.由BC=3BE

得

1，3=3x1，y1+3，解之得E13，-233.又由DC=λDF

得1，-3=λx2，y2-3，解之得F1λ，3-3λ.又∵AE·AF=43，-233·1λ+1，3-3λ=103λ-23=1，∴λ=2.

借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力，

本题也是把向量问题利用向量的坐标运算转化为代数运算，再解方程即可求解.

例题4 （2014年江苏卷12题）如图4所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，CP=3PD，AP·BP=2，则AB·AD的值是.

解析 以A为原点（A与坐标原点O重合），AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设∠DAB=θ，A（0，0），B（8，0），D（5cosθ，5sinθ），P（2+5cosθ，5sinθ），

AP=（2+5cosθ，5sinθ），BP=（-6+5cosθ，5sinθ）.

AP·BP=13-20cosθ=2，由此可得cosθ=1120.

∴AB·AD=|AB||AD|cosθ=22.

评析 建立恰当的平面直角坐标系，得出向量的坐标，转化为向量的坐标运算.使学生理解平面向量的坐标概念，明确求向量坐标的思路.

例题5 平面上三个向量OA、OB、OC，满足|OA|=1，|OB|=3，|OC|=1，

OA·OB=0，则

CA·AB的最大值是.

解析 OA·OB=0，则说明

OA⊥OB.以O为原点， OB所在直线为x轴， OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

O（0，0），A（0，1），B（3，0），C（cosθ，sinθ），设∠COx=θ.

CA=（-cosθ，1-sinθ），CB=（3-cosθ，-sinθ），

CA·CB=（-cosθ）（3-cosθ）+（-sinθ）（1-sinθ）=2sin（θ+7π6）+1.

∴CA·CB的最大值为3.本题考察向量的数量积及其运算，利用向量的坐标运算解决向量问题，将向量的几何特征转化为代数特征，把向量的数量积及其运算问题转化为代数问题，再利用三角函数的性质解决.建立平面直角坐标系，运算过程也随之变为代数化、程序化，从而降低思维难度.把复杂的问题简单化，起到事半功倍的效果.向量是融數、形于一体的知识，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识点的媒介.向量的坐标运算很好地体现了数形结合的思想方法.以向量为载体的题目越来越多地出现在高考题中.

参考文献：

[1]谢静.运用平面向量坐标运算的办法[J].语数外学习（高中版下旬），2019（11）：54.

[责任编辑：李 璟]