巧构三角形，妙解椭圆双曲线

摘 要：研究近几年全国卷试题发现，涉及椭圆、双曲线的选择题和填空题均可以通过构造三角形解决此类问题。试题在考查椭圆、双曲线定义及其简单性质的同时，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.

关键词：巧构;三角形;椭圆;双曲线

一、巧用焦点三角形，以定义为基础结合三角形的正余弦定理建立等量关系式

例1：【2019年全国I卷10】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B兩点.若，，则C的方程为（ ）

A. B.

C. D.

【思路探求】由已知可设，则，得，在中求得，在中，由余弦定理得，可得，从而可求解。

例2：【2018年全国III卷11】设F1，F2是双曲线的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若则C的离心率为（ ）

A. B.2 C. D.

【思路探求】由双曲线性质得到|PF2|=b，|PO|=a，在中，

在中，

二、巧构直角三角形，借助锐角三角函数的定义建立等量关系式。

例3：【2018年全国II卷12】已知F1，F2是椭圆的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为（ ）

A. B. C. D.

【思路探求1】由题意知|PF2|=|F1F2|=2c，过点P作PD⊥F1F2于点D，构建，由得a，c关系，即得离心率。

【思路探求2】由直线AP斜率为得，，

在△PAF2再利用正弦定理可得a，c关系，即得离心率。

三、巧构相似三角形，建立比例关系式。

例4：【2016年全国III卷11】已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）

A. B. C. D.

【思路探求】设直线l的斜率为k，在Rt△AOE中tan∠EAB=|k|，则，由得，可得a，c关系，即得离心率。

通过构造三角形将椭圆双曲线问题转化为解三角形问题，注重了椭圆双曲线定义、性质和平面几何图形的联系，解题事半功倍。

作者简介：王瑞生（1970——），男，广东惠州，汉族，中学高级教师，本科，高中数学教学与教研