“对数单身狗，指数找基友，对指凹凸求”证明导数不等式

张腾飞

摘要：“对数单身狗”：如果一个待证明的不等式中只含有对数lnx这么一个超越函数，那么要把它转化为lnx-f（x）>0（或者小于0）的形式，也即对数lnx的系数只能是1，故称为单身狗。

“指数找基友”：如果一个待证明的不等式中只含有对数ex这么一个超越函数，那么要把它转化为 的形式，也即对数ex必需和某个函数相乘或相除，不等式右边变为一个常数，故称为找基友;

“对指凹凸求”：如果一个待证明的不等式中既含有对数lnx，又含有ex两个超越函数，那么要把它们各自放到不等式的两边，使得一边是凹函數，另外一边是凸函数，这样就只要证明凹函数的最小值大于或等于凸函数的最大值。若果指数对数分离后两边的凹凸性相同，那么首先要意识到左右两边的函数极值点可能是相同的，这样一来，凹凸反转失效，两边相减后直接求导即可。

1、已知函数 ，若曲线 与曲线 的一个公共点是 ，且在点 处的切线互相垂直.

结束语：

对于“对数单身狗形式”：把它转化为lnx-f（x）>0（或者小于0）的形式，对于“指数找基友”形式把它转化为f（x）e2>1或则 （或者小于1）的形式对于“对指凹凸求”：那么要把它们各自放到不等式的两边，使得一边是凹函数，另外一边是凸函数，这样就只要证明凹函数的最小值大于或等于凸函数的最大值。转化以后大大简化步骤，使难题简单化，有利于学生对于此类题目的快速掌握。

指导老师：唐振伟。