抛物线中面积的求法

许生友

与抛物线相结合的三角形面积的最值问题是中考常见的一类问题. 为帮助同学们掌握此类问题的解题思路，本文举例进行剖析.

例（2019·四川·绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y = ax2（a > 0）的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到如图1所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），OA = 1，经过点A的一次函数y = kx + b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5.

（1）求抛物线和一次函数的解析式;

（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标;

（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE + PA的最小值.

分析：（1）先写出平移后的抛物线解析式，根据图象经过点A（-1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A，D的坐标可求出一次函数解析式;（2）如图2，作EM∥y轴交AD于M，利用三角形面积公式，由S△ACE = S△AME - S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题;（3）如图3，作点E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE = ∠HAP = ∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出PE + AP = FP + HP，当FP与HP共线时，FP + HP最小.

解：（1）将二次函数y = ax2（a > 0）的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为y = a（x - 1）2 - 2，

∵OA = 1，∴点A的坐标为（-1，0），代入抛物线的解析式得4a - 2 = 0，∴a = .

∴抛物线的解析式为y = （x - 1）2 - 2，即y = x2 - x - .

令y = 0，解得x1 = -1，x2 = 3. ∴B（3，0）. ∴AB = OA + OB = 4.

∵△ABD的面积为5，∴S△ABD = AB·yD = 5.

∴yD = ，代入抛物线解析式得 = x2 - x - . 解得x1 = -2，x2 = 4. ∴D4，

.

设直线AD的解析式为y = kx + b，∴4k + b

= ，

-k + b = 0. 解得k

= ，

b =

.

∴直线AD的解析式为y = x + .

（2）如图2，过点E作EM∥y轴交AD于M，交x轴于F，设Ea，

a2 - a

- ，则Ma，

a

+ ，∴EM = -a2 + a + 2.

∴S△ACE = S△AME - S△CME = ×EM×AF - ×EM×OF = ×EM×1

= -

a2 +

a + 2×1 = -（a2 - 3a - 4） = -a -

2 + .

∴当a = 时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为

，

-.

（3）如圖3，作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于G，过点F作FH⊥AE于H，交x轴于P.

∵E

，

-，OA = 1，∴AG = 1 +  = ，EG = . ∴ =  = .

∵∠AGE = ∠AHP = 90°，∴sin∠EAG =  =  = . ∴PH = AP.

∵E，F关于x轴对称，∴PE = PF. ∴PE + AP = FP + HP = FH，此时FH最小.

∵EF = ×2 = ，∠AEG = ∠HEF，∴ = sin∠HEF = sin∠AEG =  = .

∴FH = × = 3. ∴PE + PA的最小值是3.

点评：如果三角形的三边都不与坐标轴平行，可以经过三角形的一个顶点，作y轴（或x轴）的平行线，通过这条平行线把该三角形转化为两个有公共底边的三角形的和或差，从而运用公共底边长度与另外两个顶点的横坐标（或纵坐标）之和（或差）的绝对值的积的一半求出该三角形的面积. 对于最大值问题，可运用二次函数关系式中的平方法或顶点坐标公式求最值.