因式分解方法的再探索

宋爱华

七年级3班的综合实践课上，小先生宋明哲要与同学们分享因式分解的第三种方法.

小先生：大家都会计算（ax + b）（cx + d） = acx2 + （ad + bc）x + bd.如果把这个式子反过来，就得到二次三项式acx2 + （ad + bc）x + bd的因式分解形式，即acx2 + （ad + bc）x + bd  = （ax + b）（cx + d）. 运用这个式子就可以把某些二次三项式分解因式.

学生1：我还不太明白，你能讲讲具体应该怎么操作吗？

小先生：可利用画十字交叉线分解（如图1）.将二次项系数分解为两因数a，c，写在第一列，常数项分解为两因数b，d，写在第二列，交叉相乘所得结果相加应等于一次项系数ad + bc. 这种分解因式的方法称为十字相乘法.

学生2：我现在有些懂了，对于多项式x2 + 5x + 6， 把二次项系数1分解为1×1，常数项6可分解为1×6，我来画图验证下（如图2），不对啊！ （x + 1）（x + 6） ≠ x2 + 5x + 6.

小先生：常数项6可分解为两个同号整数的积（如图3），即：6=1×6，6=（-1）×（-6），6=2×3，6=（-2）×（-3）.

显然，由图3知：x2 + 5x + 6 = （x + 2）（x + 3）. 注意：在借助画十字交叉分解系数后写分解结论时不能对角写，应横向写.

学生3：我懂了，我来试试分解多项式2x2-5x-3. 先将二次项系数分解为1×2，常数项-3<0可分解成异号两数的积，即（-1）×3或1×（-3）.如图4，则2x2-5x-3分解为（x - 3）（2x + 1）.

小先生：太棒了！十字相乘法能把某些二次三项式a x2 + bx + c（a ≠ 0）分解因式.其关键在于把二次项的系数a分解成两个因数a1，a2的积，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积，并使a1c2 + a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成：ax2 + bx + c = （a1x + c1）（a2x + c2）. 在運用这种方法分解因式时，要注意观察各项系数的符号，多次尝试，并体会它的实质就是整式乘法的逆运算，还可以用整式乘法公式验证因式分解结果的正确性.