以课为背景的试题解析

刘顿

在近几年的中考试题中，以数学活动课或数学兴趣小组的课外活动等模式为背景的试题，逐渐成为命题的一种新趋势. 为方便同学们及时了解此类试题在中考中的动态，现选两例供参考！

例1（2019·四川·廣安）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形. 规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形. （如图2，阴影部分为剪掉部分）请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（例图除外）.

解析：根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得，如图3所示.

例2（2019·浙江·绍兴）图4是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD = 30，DM = 10.

（1）在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长.

②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长.

（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2，如图5，此时∠AD2C=135°，CD2=60，求BD2的长.

解析：（1）①当A，D，M三点在同一条直线上时，AM的长为40或20.

②∠MAD ≠ 90°.

当∠AMD = 90°时，AM2 = AD2 - DM2 = 800，则AM = 20;

当∠ADM = 90°时，AM2 = AD2 + DM2 = 1000，则AM = 10 .

因此AM的长为20或10 .

（2）如图6，连接CD1. 由题意知∠D1AD2 = 90°，AD1 = AD2 = 30，

∴∠AD2D1 = 45°，D1D2 = 30.

∵∠AD2C = 135°，∴∠CD2D1 = 90°，∴CD1==3.

∵∠BAC=∠D1AD2=90°，∴∠BAD2=∠CAD1.

∵AB=AC，AD2=AD1，∴△BAD2≌△CAD1，∴BD2 = CD1 = 30.