几何证明如何 找准入手点

陆青

例 如图1，矩形ABCD中，延长CD到E，使CE = CA，F是AE的中点. 求证： BF⊥DF.

策略探索：几何离不开图形，故证明之前可先分解图形如图2.

基础联想：（1）矩形的性质. 由条件“CE = CA”，CA是矩形的对角线，联想可能涉及矩形的对角线相等.

（2）直角三角形的性质. 由条件“F是AE的中点”，联想可能涉及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.

（3）等腰三角形的性质. 由条件“F是AE的中点”，联想可能涉及等腰三角形“三线合一”.

（4）中点（中线）的三种常见使用方法：构造中位线;倍延中线;构造全等三角形或平行四边形.

一、从目标入手——如何证两线互相垂直（一个角为直角）

思路1：证直角，找（造）直角.

解析：要证BF⊥DF，就在图1中找相关的直角或构造相关的直角. F是等腰三角形CAE底边AE的中点，连接CF，如图3，利用等腰三角形的“三线合一”得CF⊥AE，可得∠1 + ∠3 = 90°，因此只要证得∠1 = ∠2即可.

由矩形ABCD得AB = DC，由F是Rt△ADE的斜边AE的中点得FA = FD，所以∠4  = ∠5，

所以∠5 + 90°= ∠4 + 90°，即∠FAB = ∠FDC，得△FAB ≌ △FDC，所以∠1 = ∠2，

所以∠BFD = ∠3 + ∠2 = ∠3 + ∠1 = ∠AFC = 90°，所以BF⊥DF.

反思：由于目标是证∠BFD = 90°，而∠CFA = 90°，观察图形，连接BD，如图4，可猜想△AFC ≌ △DFB. 请同学们尝试写出证明过程.

思路2：用勾股定理的逆定理证垂直.

解析：如图5，连接FC，BD，BD与AC交于点O，

由矩形ABCD得AC = BD，

所以OA = OD，所以∠3 = ∠4.

由F是Rt△ADE斜边的中点得FA = FD，

所以∠1 = ∠2，则∠FAC = ∠FDB，

所以△AFC ≌ △DFB，则FC = FB.

由CF⊥AE知∠CFE = 90°，则 EF 2 + FC2 = EC2.

因为F为Rt△ADE斜边AE的中点，所以EF = DF.

又因为CE = CA = BD，所以DF 2 + BF 2 = BD2，

所以∠BFD = 90°（勾股定理的逆定理），所以BF⊥DF.

二、从条件入手——题目中的条件能有哪些启示

思路3：有中点，找（造）中位线.

解析：如图6，连接BD，交AC于点O，连接OF，

由矩形ABCD得点O为AC的中点，

又因为F为AE的中点，所以OF为△ACE的中位线，

可证∠OBF = ∠OFB，∠OFD = ∠ODF，

则2∠OFB + 2∠OFD = 180°，

所以∠BFD = 90°，所以BF⊥DF.

思路4：有中点（中线），倍延中线.

解析：如图7，分别延长DF，BA交于点G，连接BD，

易证△AGF ≌△EDF （AAS），所以AG = ED，GF = DF.

因为AB = DC，所以AB + AG = DC + DE，即BG = CE.

又因为CA = BD = CE，所以BG = BD，

所以BF为等腰三角形BDG底边上的中线，所以BF⊥DF.

反思：在图7的基础上连接GE，也可证得结论，请同学们尝试写出证明过程.

解析：如圖8，分别延长DF，BA交于G，分别延长BF，DE交于H，

连接GH，BD，易证△BAF ≌ △HEF，△AGF ≌ △EDF，

可得AB = HE，AG = ED，所以GB = HD.

因为GB∥HD，所以四边形GBDH是平行四边形.

又因为HE = AB = DC，所以HD = EC = AC = BD，

所以四边形GBDH是菱形，

所以BF⊥DF （菱形的对角线互相垂直）.

解决数学问题必须要有良好的基本功：从条件入手，思考题目中的条件涉及哪些有关性质;从结论入手，分析要解答的问题常规有哪些途径. 同学们在遇到问题时，多角度去思考，多途径去探索，一定能找到恰当的解题方法.