2020年本刊原创题（六）

刘福

1. 点P是⊙O所在平面内一点，在点P与⊙O上的各点所连接的线段中，最长的是8，最短的是2，则⊙O的半径为 .

2.如图1，点E是边长为4的正方形ABCD的边CD的中点，点F是AD边上的一个动点，将△DEF沿着EF折叠，得到△EGF，设H是BG的中点，则AH的最小值为 .

3.如图2，D是等腰直角三角形ABC斜边BC上的一点，[BD=42]，[CD=32]，O是△ABC所在平面内一点，OD = 3，△AOE是等边三角形，将OD绕点D旋转，在旋转过程中 DE的最小值为 .

4.如图3，四边形ABCD是菱形，∠DAB = 60°，AB = 5，△BEF是邊长为4的等边三角形，将△BEF绕点B旋转，连接CF，AE，当∠BCF最大时，△ABE的面积为 .

5.如图4，D是边长为6的等边三角形ABC的边AC的中点，△AEF是直角三角形.其中∠EAF = 90°，AE = 3，AF = 4，P是边EF上的一个动点，将△EAF绕点A旋转一周，那么PD长度的取值范围是                    .

1. 要点提示：当点P在⊙O内时，⊙O的半径为5;当点P在⊙O外时，⊙O的半径为3.

2. 要点提示：点G在以E为圆心，2为半径的圆弧上运动，取BE的中点O，连接AO，HO，则[HO=12GE=1]，求得[AO=13]，则AH的最小值为[13-1].

3.要点提示：过点D作AB，AC的垂线，可以求得AD = 5，在AD右侧作等边三角形ADF，连接EF，则△ADO ≌△AFE，则EF = OD = 3，∵F是定点，∴点E在以F为圆心、3为半径的圆上运动，可得DE的最小值为5 - 3 = 2.

4.要点提示：点F在以B为圆心、4为半径的圆上运动，当CF与⊙B相切时，∠BCF最大，此时∠BFC = 90°，根据勾股定理可得CF = 3，△BCF的面积为6，再证明△ABE的面积=△BCF的面积 = 6.

5. 要点提示：AD = 3，AP的最小值为[125]，AP的最大值为4，∴PD的最大值为4 + 3 = 7，PD的最小值为[125-3=35].

可得答案为[35 ≤ PD≤7].