利用方差判断说理

赵小冬

方差是反映一组数据波动大小的量，方差越大，数据的波动越大;方差越小，数据的波动就越小.应用这一结论，可以对一些生活实际问题进行判断说理.

例1（2020·河南）为发展乡村经济，某村根据本地特色创办了山药粉加工厂. 该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择. 试用时，设定分装的标准质量为每袋500 g，与之相差大于10 g为不合格. 为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：

【收集数据】从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量（单位： g）如下：

【整理数据】整理以上数据，得到每袋质量x（g）的频数分布表.

【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量.

[统计量 平均数 中位数 方差 不合格率 甲机器 499.7 501.5 42.01 b 乙机器 499.7 a 31.81 10% ]

根据以上信息，回答下列问题：

（2）综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由.

解析：（1）先将分装机乙的统计量从小到大排序：487，490，491，493，498，499，499，499，499，501，501，501，502，502，502，503，505，505，506，511，其中第10个和第11个数据都是501. 根据中位数的概念，第10个和第11个数据的平均数是这20个数据的中位数a，因此中位数a = 501（g）;分装机甲的统计量中与500 g相差大于10 g有3个，即不合格的有3袋，因此不合格率b = 3 ÷ 20 = 15%.

（2）工厂应该选购乙分装机. 理由如下：比较甲、乙两台机器的统计量可知，两台分装机统计量的平均数相同，甲的中位数高于乙的中位数，但相差不大，乙的方差较小，且不合格率更低，其稳定性更好.因此，乙分装机的分装效果更好，工厂应选购乙分装机.

反思：从平均数与方差来看两台分装机，平均数相同，乙的方差较小，因此乙分装机的生产质量更稳定.在进行相关计算时，要认真仔细，谨防“一着不当，全盘皆输”.

例2（2020·浙江·温州）A，B两家酒店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图1所示.

（1）要评价两家酒店7～12月的月盈利平均水平，你选择什么统计量？求出这个统计量.

（2）已知A，B兩家酒店7～12月的月盈利的方差分别为1.073（平方万元）、0.54（平方万元）. 根据所给的方差和你在（1）中所求的统计量，结合折线统计图，你认为去年下半年哪家酒店经营状况较好？请简述理由.

解析：（1）要评价两家酒店月盈利的平均水平，就是要比较两家酒店月盈利的平均值，因此选择两家酒店月盈利的平均值.

（2）可以从盈利的平均数、方差和折线统计图等方面来判断去年下半年A，B两家酒店的经营状况.（答案不唯一，评分可分为三个等级.）

等级1：A酒店的经营状况较好. 理由：A酒店月盈利的平均数为2.5万元，B酒店月盈利的平均数为2.3万元，再从折线统计图看，A酒店去年下半年盈利逐月上升，发展势头很好.

等级2：A酒店的经营状况较好. 理由：从平均数或者从折线统计图一个角度说明理由.

等级3：①选A酒店，无理由或理由不合理;②选B酒店.理由：A酒店盈利的方差为1.073，B酒店盈利的方差为0.54，B酒店盈利情况较稳定.

反思：本题（2）的答案不唯一，有点“公说公有理，婆说婆有理”的味道，但评分有差异.在说明理由时，一定要注意掌握折线统计图表达的实际意义.需要指出的是：（1）方差的作用是用来比较两组数据的波动大小的，只有在数据的平均数相等或比较接近时，才能用这种方法，否则一般不用方差来比较数据的波动大小;（2）一般而言，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，因此有同学就认为在实际生活中方差越小越好，这种观点是错误的，例如，要在全班选学生参加数学竞赛，选拔成绩的方差则越大越好，这样有利于选拔优秀选手.