“一线三等角”模型在中考中的应用

潘道生

如图1，若∠AEF = ∠B = ∠C = α，则△ABE∽△ECF.

事实上，在△ABE和△ECF中，∠AEF + ∠FEC = ∠A + ∠B，而∠AEF = ∠B，∴∠A = ∠CEF，又∵∠B = ∠C，∴△ABE∽△ECF.

我们把这个模型称为“一线三等角”模型，下面举例说明其在中考中的应用.

一、模型具备直接用

例1（2019·黑龙江·齐齐哈尔）将边长为4的等边三角形AND沿直线GH折叠，使点A落在边ND上的点A′处，如图2. 若[A′NA′D] = [mn]，则[AGAH] = （用含m，n的代数式表示）.

分析：由∠N = ∠GA′H = ∠D = 60°，可知△GA′N∽△A′HD，得到比例式. 设[A′NA′D=mn=a]，[A′G=AG=x]，[A′H=AH=y]，则[A′N=am]，[A′D=an]，[GN=4-x]，[DH=4-y]，代入上述比例式求出x和y的关系可得答案.

解：由∠N = ∠GA′H = ∠D = 60°，可知△GA′N∽△A′HD，得[A′GA′H=A′NDH=GNA′D]. 设[A′NA′D=mn=a]，[A′G=AG=x]，[A′H=AH=y]，则[A′N=am]，[A′D=an]，[GN=4-x]，[DH=4-y]，[∴][xy=am4-y=4-xan]，解得[x=am+44+any]，[∴][AGAH=am+44+an=am+am+anam+an+an=2m+nm+2n].

点评：当题目中出现图1中的基本图形时，可直接应用基本图形的性质来求解.

二、模型不全补形用

例2（2019·重庆A卷）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD[⫽]x轴，反比例函数y = [kx]（k > 0，x > 0）的图象经过矩形对角线的交点E. 若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（ ）.

A. 16 B. 20 C. 32 D. 40

分析：根据A（2，0），D（0，4）可知OA = 2，OD = 4. 由于图3中已有∠DAB = ∠DOA = 90°，因此过点B作BF⊥x轴于点F，构造“一线三等角”模形，则有△AOD∽△BFA. 由BD[⫽]x轴，可知BF = OD = 4，從而可求出AF的长，进而得到点E的坐标，求出k的值.

解：过点B作BF⊥x轴于点F，则∠AFB = ∠DOA = 90°. ∵四边形ABCD是矩形，∴ED = EB，∠DAB = 90°，∴△AOD∽△BFA，∴[OABF=ODAF]. ∵BD[⫽]x轴，A（2，0），D（0，4），∴OA = 2，OD = 4 = BF，∴[24=4AF]，∴AF = 8，∴OF = 10，∴E（5，4）. ∵双曲线y = [kx]过点E，∴k = 5 × 4 = 20，故选B.

点评：求点的坐标时，通常会作坐标轴的垂线构造全等三角形或相似三角形来处理.

三、无中生有创新用

例3（2019·湖北·武汉）已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM，BN于D，C两点.

（1）如图4，求证：AB2 = 4AD·BC;

（2）如图5，连接OE并延长交AM于点F，连接CF. 若∠ADE = 2∠OFC，AD = 1，求图中阴影部分的面积.

分析：（1）连接OC，OD，构造出“一线三等角”模型，证明△AOD∽△BCO，得出[ADBO] = [OABC]，即可证明结论;（2）连接OD，OC，证明△COD≌△CFD得出∠CDO = ∠CDF，求出∠BOE = 120°，由直角三角形的性质得出BC = 3，OB = [3]，由图中阴影部分的面积 = 2S△OBC - S扇形OBE，即可得出结果.

解：（1）连接OC，OD，如图4. ∵AM和BN是圆的两条切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，

∴AM[⫽]BN，∴∠ADE + ∠BCE = 180°.

∵DC切⊙O于E，∴∠ODE = [12]∠ADE，∠OCE = [12]∠BCE，∴∠ODE + ∠OCE = 90°，

∴∠DOC = 90°，∴∠AOD + ∠COB = 90°.

∵∠AOD + ∠ADO = 90°，∴∠AOD = ∠OCB.

∵∠OAD = ∠OBC = 90°，∴△AOD∽△BCO，∴[ADBO] = [OABC]，

∵OA = OB，∴OA2 = AD·BC，∴[12AB]2 = AD·BC，∴AB2 = 4AD·BC.

（2）连接OD，OC，如图5.

∵∠ADE = 2∠OFC，∴∠ADO = ∠OFC.

∵∠ADO = ∠BOC，∠BOC = ∠FOC，∴∠OFC = ∠FOC，∴CF = OC，

∴CD垂直平分OF，∴OD = DF.

又∵CD = CD，∴△COD≌△CFD（SSS），∴∠CDO = ∠CDF.

∵∠ODA + ∠CDO + ∠CDF = 180°，∴∠ODA = 60° = ∠BOC，∴∠BOE = 120°.

在Rt△DAO中，AD = [33]OA.

在Rt△BOC中，BC = [3]OB，∴AD∶BC = 1∶3.

∵AD = 1，∴BC = 3，∴OB = [3]，

∴图中阴影部分的面积 = 2S△OBC - S扇形OBE = 2 × [12] × [3] × 3 - [120π×（3）2360] = 3[3] - π.

点评：添加辅助线，构造出基本模型是解题的关键.