利用二次函数 求解几何最值

陈玉红

几何图形与二次函数的综合问题难度一般较大，解决此类问题，需要我们能够洞察图形的结构特征，充分挖掘几何图形的性质，从而利用二次函数的性质求解. 下面举例介紹.

一、利用相似三角形构造二次函数

例1（2019·四川·凉山）如图1，正方形ABCD中，AB = 12， AE = [14]AB，点P在BC上运动 （不与B，C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 .

解析：在正方形ABCD中，∵AB = 12，∴AE = [14]AB = 3，∴BE = 9，设BP = x，则CP = 12 - x. ∵PQ⊥EP，∴∠EPQ = ∠B = ∠C = 90°，∴∠BEP + ∠BPE = ∠CPQ + ∠BPE = 90°，∴∠BEP = ∠CPQ，∴△EBP ∽△PCQ，∴[CQBP =PCBE]，∴[CQx=12-x9]，整理得CQ = [-19（x-6）2+4]，∴当x = 6时，CQ取得最大值为4. 故填4.

点评：本题中的相似三角形是相似形中非常重要的基本图形，是“一线三等角”相似模型的特例，对解决相似问题有很大帮助.

二、利用三角形的面积公式构造二次函数

例2（2019·江苏·无锡）如图2，在△ABC中，AB = AC = 5，BC = [45]，[D]为边[AB]上一动点（不与点[B]重合），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为     .

解析：过D作DG⊥BC于G，过A作AN⊥BC于N，过E作EH⊥DG于H，延长ED交BC于M.易证△EHD ≌△DGC，可设DG = HE = x，

∵AB = AC = 5，BC = [45]，AN⊥BC，∴BN = [12]BC = 2[5]，∴AN = [AB2-BN2=5]，

∵DG⊥BC，AN⊥BC，∴DG[⫽]AN，∴[BGDG=BNAN=2]，∴BG = 2x，CG = HD = 4[5] - 2x;由EH[⫽]MG可得△HED ∽△GMD，于是[HEGM=HDGD]，则[xGM=45-2xx]，即MG [=x245-2x]，

所以S△BDE  = [S△BME ][- S△BMD] = [12BM·HG-12BM·DG] = [12]BM · HD = [12（BG-MG）·HD]

= [12] × [2x [- x245-2x] × （4[5] - 2x）= [-52x2+45x] = [-52x-4552+8]，

∴当x = [455]时，S△BDE的最大值为8.

点评：本题还可以分别过点C，E作CK⊥AB，EQ⊥AB，这样△BDE面积就可以表示为[12BD·EQ]，不妨将BD设为变量x，结合图形的性质用x表示出EQ，这样根据面积公式就得到关于x的二次函数.

三、利用勾股定理建立二次函数

例3（2018·辽宁·葫芦岛）如图3，在[▱]ABCD中，AB = 6，BC = 10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y = PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）.

[y][36][18][O][6][8][14][x] [y][36][18][O][6][8][14][x] [B] [y][36][18][O][6][8][14][x] [C] [y][36][18][O][6][8][14][x] [D] [A]

解析：在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = 6，BC = 10，∴AC = [BC2-AB2] = 8.

观察平行四边形，我们可从分析动点P，Q的运动过程入手，将其分为三段来探究：

（1）点P在边BA上运动，即当0 ≤ x≤ 6时，AP = 6 - x，AQ = x，

由勾股定理可得y = PQ2 = AP2 + AQ2 =2x2 -12x + 36 = [2（x-3）2+18]，

此时图象为开口向上的抛物线，对称轴为x = 3，顶点坐标为（3，18），排除选项A、D;

（2）当P运动到点A时，点Q在AC上距离点A为6，

即当6 < x ≤ 8时，AP = x - 6，AQ = x，

∴y = PQ2 =（AQ - AP）2 = 36，图象为与x轴平行的一条线段，长度为2;

（3）当点Q运动到点C，继续在CD上运动时，即当8 < x ≤ 14时，CP = 14 - x，CQ = x - 8，

在Rt△PCQ中，由勾股定理可得y = PQ2 = CP2 + CQ2 = 2x2 - 44x + 260 = 2（x - 11）2 + 18.

此时图象为开口向上的抛物线，对称轴为x = 11，顶点坐标为（11，18），结合函数图象，只有选项B符合要求.

故选B.

点评：抓住动点运动的转折点，将运动过程准确分解，分类加以讨论是解题的关键.

（作者单位：江苏省丰县单楼初级中学）