数学思想 解题钥匙

许华英

我们经常遇到二次根式的计算、化简、求值、比较大小、最值等问题.要解答它们，仅仅依靠二次根式的性质很难进行，必须注意结合一定的数学思想方法.

一、方程思想

方程思想就是通过列方程（组）或不等式（组）来解决问题的一种解题策略.

例1 已知[y=x2-25x-4+x2-24-5x+2] ，则[x2+y2] = .

解析：从已知条件出发，连续两次运用算术平方根的非负性有[x2-25x-4 ≥0]，[x2-24-5x ≥0]，

可得[x2-2=0]，所以[x2] = 2，[y=2]. 所以[x2+y2] = 2 + 4 = 6. 故填6.

能力提升1：[x+y-5+2x+y-8=0]，则[xy] = .

提示：[x+y-5] = 0，[2x+y-8] = 0.

二、数形结合思想

数与形是一个问题的两个方面，“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合既有助于找到解题思路，也常使解答简捷. 数形结合的关键在于能将代数问题蕴含的几何图形、几何知识抽取、转化出来.

例2 [x2-2x+1+x2-4x+4=1]，则[x]的值为 .

解析：先将原题化简为[x-1+x-2 =1]，依据绝对值的几何意义可知[x-1+x-2 =1]的意义为数轴上表示数[x]的点到表示1的点和表示2的点的距离之和为1，说明[x]在1和2之间（含1和2），如图1，所以[1≤x≤2].

故填1 ≤ x ≤ 2.

变式：[x2-2x+1-x2-4x+4=1]，则[x]的取值为 .

提示：表示数x的点在表示2的点的右侧（含表示2的点）.

能力提升2：[x>0]，[y>0]，[x+y=4]，则[x2+9+y2+25]的最小值为 .

提示：如图2，设[AE=x]，[BE=y]，[AB=4]，[AC=3]，[BD=5]，结合勾股定理可知[x2+9+y2+25]表示[CE+ED]的长度，由“两点之间线段最短”可知，作出点D关于AB的对称点D'，连接CD'，求出CD'长度即可.

三、整体思想

整体思想就是在解决问题的过程中从整体角度思考问题，即将局部放在整体中去观察，探究问题的解决方法，从而使问题得以简捷巧妙的解决.

例3 已知[x+5-x-2=1]，则[x+5+x-2]的值为 .

解析：把题目中的已知和未知根式看作整体，

因为[（x+5-x-2）（x+5+x-2）=7]，[x+5-x-2] = 1，所以[x+5+x-2] = 7.

故填7.

能力提升3：已知[a2-3a+1=0]，则[a2a4+1]的值为 .

提示：由[a2+1=3a]可知[a+1a=3（a≠0）]，而[a2a4+1 = 1a2+1a2] = [1a+1a2-2]，然后把[a+1a]看作整體计算即可.

四、转化思想

解题时，碰到陌生的问题常把它设法转化成熟悉的问题，碰到复杂的问题常设法把它转化成简单的问题.

例4 （1）（配方法）计算：[14+65-14-65] = .

解析：把14看作9 + 5，将根式里面的式子转化为熟悉的完全平方公式.

14 + [65 ]= [9+65+5=32+65+（5）2=] （[3+5]）2，同理可得14 - [65] =  （[3-5]）2.

则原式 = [3+5-3+5] = [25] . 故[25].

（2）（平方法）已知[a=7+5]，[b=22+2]，[c=3+3]，则a，b，c的大小关系为 .

解析：直接比较三个数有困难，通过平方法就容易得多，可得答案为c

（3）（换元法）计算：[20202-2019×202120212-4042×2019+20192] = .

解析：式子看起来烦琐，通过换元，令[2020=a]代入即可算出答案为[12]. 故填[12].

（4）（有理化）满足[n-n-1 < 1100]的最小正整数[n]的值为 .

解析：采用分子有理化，使得不等式的两边转化为同样的分式结构：[n-n-1=1n+n-1 < 1100]，所以[n+n-1>100]. 由于[2n >n+n-1 >100]，所以[n >50]，故[n>2500]，所以[n]最小可取2501. 故填2501.

看似简单的二次根式计算，其中蕴含了相当丰富的数学思想方法，同学们在学习时可以多加练习，注重思维能力的培养及数学思想方法的合理运用.