平行四边形中面积的特殊结论
2020-09-10于嘉帅
于嘉帅
【结论】平行四边形内任意点和它各顶点的连线将四边形分成四个三角形，则两组分别相对的两个三角形面积的和相等，都为平行四边形面积的一半.
【结论证法】
已知[O]为[▱ABCD]内任意一点，求证：[S△ABO+S△DCO=S△BCO+S△ADO] = [12]S[▱ABCD].
证法1：如图1，在[▱ABCD]内，过[点O]作[BC]的平行线分别交[AB]，[CD]于[E，F]，
则四边形[AEFD]和四边形[BEFC]都为平行四边形，[△OBC]和[▱][BEFC]等底等高，
[∴S△OBC=12S▱BEFC]，同理[S∆ADO=12S▱AEFD]，
[∴S△CBO+S△ADO=12（S▱BEFC+S▱AEFD）=12S▱ABCD].
同理可得[S△ABO+S△DCO=12S▱ABCD.]
[∴S△ABO+S△DCO=S△BCO+S△ADO] = [12S▱ABCD].
证法2：如图2，过点[O]作[EF⫽BC]交[BA，CD]于[E，F]，
再过[点O]作[GH][⫽AB]，交BC，DA于[G，H]，
图2中8个三角形的面积用[S1]，[S2]…[S8]所示，
[∵]四边形[AEOH]是平行四边形，
[∴S1=S8]，同理[S2=S3，S7=S6，S5=S4]，
[∴（S1+S2）+（S5+S6）=（S7+S8）+（S3+S4）]，
即[S△ADO+S△BCO=S△ABO+S△DCO] = [12S▱ABCD].
证法3：如图3，过点[O]作[EF⊥AB]，交[AB]于[E]，交[CD]于[F]，
[∵][CD⫽AB]，[∴EF⊥CD]，
[∴S△ABO+S△DCO=12AB·OE+12CD·OF]
= [12（OE+][OF） ·AB=12EF·AB=12S▱ABCD]，
同理，[S△BCO+S△ADO=12S▱ABCD]，[∴S△ADO+S△BCO=S△ABO+ S△DCO] [=12S▱ABCD].
【应用结论】
例1（2019·安徽·安庆）如图4，点[P]在[▱ABCD]的内部，[PA，PB，PC，PD]将[▱ABCD]分成4个三角形，它们的面积分别为[a]，[ar]，[ar2]，[ar3（a>0，r>0）]，试确定点[P]的位置，并说明理由.
解析：由前面结论知：[a+ar2=ar+ar3，∴a（1+r2）=ar（1+r2） ，]
[∵a>0，r>0]，[∴1+r2>0]，[∴r=1]，[∴][a=ar=ar2=ar3]，
由于在[▱ABCD]中4个三角形的面积相等，所以点P是[AC]和[BD]的交点.
理由：當[AC]和[BD]交于点[P]时，∵[PA=PC]，
∴[S△PAD=S△PCD]（等高），同理[S△PAD=S△PAB，S△PCD=S△PCB]，
故[S△PAB=S△PBC]，[S△PCD=S△PAD]，说明点[P]是[AC]和[BD]的交点.
例2（2019·江西·抚州） 如图5，[P]是矩形[ABCD]内的一点，[△PAB]的面积是19，[△PCD]的面积是91，则矩形[ABCD]的面积是 .
解析：由前面结论知[S矩形ABCD=2×（S△PAB+S△PCD）=2×（19+91）=220]. 故应填220.
例3 （2019·辽宁·锦州）如图6，一个矩形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占矩形面积的15%，黄色三角形的面积是21 cm2，问：矩形的面积是多少？
解析：设矩形[ABCD]的面积为[S]，则[S△OAD+S△OBC=12S矩形ABCD]，
∴[21+15100S=12S]，[∴S=60（cm2）].
例4（2019·山东·德州） 如图7，在平行四边形[ABCD]中，对角线[AC，BD]交于点[O]，在[BC]上取一点[E]，使[EC=14BC，DE]交[AC]于[F]，则[AO∶OF∶FC ]= .
解析：连接[BF]，作DG⊥BC，垂足为G，如图8，设[S▱ABCD=a]，DG = h，
则[S△AOB=14S▱ABCD=14a，S△DEC=12CE·h=12 × 14（BC·h）=18a]，
令[S△FEC=x]，[S△DOF=S△BOF=y]，则[S△BFE=3x]，
[∴]由前面结论知[S△FAB+S△DCF=12S▱ABCD]，
即[a4+y+a8-x=a2，∴y-x=18a].
又由前面结论知[S△FBC+S△FAD=12S▱ABCD]，
即 [4x+y+14a=12a]， [∴4x+y=14a]，[∴x=140a]，[y=320a]，
[∴S△DFC=S△DEC-x=18a- 140a =110a].
[∴AO∶OF∶FC] = [S△AOD ： S△DOF ： S△DFC][ =14a ： 320a ： 110a=5 ： 3 ： 2.]故应填[5 ： 3 ： 2].
（作者单位：南京林业大学）
