矩形对角线相等性质的应用

刘家良

矩形是一种特殊的平行四边形，对角线互相平分且相等，因此四个顶点到对角线交点的距离相等，也就是说矩形的两条对角线将矩形分成以四条边分别为底边的四个等腰三角形.

一、矩形的对角线相等

例1（2019·贵州·安顺）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA = 3，AC = 4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则線段MN的最小值为 .

分析：由“三个角都为直角的四边形为矩形”可得四边形AMDN为矩形，MN是一条对角线，欲求线段MN的最小值，需根据矩形对角线相等的性质，将线段MN的最小值转化为AD的最小值.依据“垂线段最短的性质”可知AD的最小值就是斜边BC上的高.

解：连接AD，如图2.

∵∠BAC = 90°，BA = 3，AC = 4，

∴BC[ = ][BA2+AC2] = 5.

∵DM⊥AB，DN⊥AC，

∴∠DMA = ∠DNA = ∠BAC = 90°，

∴四边形DMAN是矩形，∴MN = AD.

当AD⊥BC时，AD的值最小.

过点A作BC的垂线，垂足为点G，

根据三角形面积的不变性，得[12]AB × AC[ =][ 12]BC × AG.

∴AG[ =][ AB⋅ACBC] = [125]，∴MN的最小值为[125] .

故应填[125].

二、矩形的对角线分矩形为四个以四条边为底边的等腰三角形

例2（2019·黑龙江·哈尔滨）已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.（1）如图3①，求证：AE = CF;（2）如图3②，当∠ADB = 30°时，连接AF，CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图3②中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的[18].

[A][C][D][B][E][F] [A][C][D][B][E][F][①][②][图3]

分析：（1）欲证AE = CF，需证AE和CF分别所在的三角形全等;

（2）求解面积比的问题通常转化为同高不同底的三角形面积比的问题.易证四边形AECF为平行四边形，连接AC，交BD于点O，则AC与EF将其分成四个面积相等的三角形. 矩形对角线将矩形分为以四边为底边的四个等腰三角形，加之∠ABD = 60°，可得△ABO和△CDO为等边三角形且全等，再利用等腰三角形的“三线合一”可得边之间的数量关系.

解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB = CD，AB[⫽]CD，∴∠ABE=∠CDF.

∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB = ∠CFD = 90°，

∴△ABE ≌△CDF（AAS），∴AE = CF.

（2）[S△ABE] = [S△CDF]= [S△ADF] = [S△BCE] = [18][S矩形ABCD].

理由：连接AC交BD于点O，如图4.

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD = ∠ADC = 90°，AO = CO = [12]AC，BO = DO =[ 12]BD，AC = BD，

∴AO = BO，CO = DO.

∵∠ADB = 30°，∠BAD = ∠ADC = 90°，

∴∠ABO = ∠CDO = 60°，

∴△ABO和△CDO为等边三角形.

∵AE⊥BO，CF⊥DO，∴BE = EO = [12]BO，DF = OF= [12]DO，

∴BE = EO = OF = DF，

∴[S△ABE] =[ S△AEO] =[ S△AOF] =[ S△ADF] = [14S△ABD]，[S△BCE] = [S△CEO] = [S△COF] = [S△CDF] = [14S△CBD].

∵在△ABD和△CDB中，AB = CD，∠BAD = ∠DCB，AD = CB，

∴△ABD ≌△CDB（SAS），∴[S△ABD] = [S△CBD] = [12][S矩形ABCD].

∴[14][S△ABD] =[ 14][S△CBD] = [18][S矩形ABCD].

∴[S△ABE] = [S△CDF] = [S△ADF] = [S△BCE] = [18][S矩形ABCD].