阿贝尔与数形结合

林革

阿贝尔（1802—1829）是挪威著名数学家，很早就展露出过人的数学天赋. 他18岁开始潜心研究数百年悬而未决的难题 ——求解五次方程，见解之深刻与其年龄极不相称，但阿贝尔杰出的数学才华和研究成果在当时并未受到特别重视. 怀才不遇和生活贫寒的双重打击令这位数学天才患上重疾，最终英年早逝. 在他去世后不久，数学界认识到他的贡献，荣誉和褒奖接踵而来. 事实证明，阿贝尔短暂一生的研究工作对近代数学产生深刻且巨大的影响，许多概念、公式和定理都与阿贝尔联系在一起，当代数学家一直在其开辟的数学领域继续探索耕耘. 为此，挪威政府于2003年设立了金额高达80万美元的数学杰出成就奖——阿贝尔奖，以鼓励当代数学家以阿贝尔为榜样，不畏艰苦、坚定信念向数学高峰攀登. 这个奖项结束了诺贝尔奖没有数学奖的尴尬.

值得一提的是，阿贝尔非常注意并擅长运用数形结合思想，下面这则轶事就是佐证.

后来，阿贝尔遇到一道证明题：周长一定的矩形中，正方形面积最大. 显然，采用纯几何方法证明它似乎并不顺利，全班同学冥思苦想却一筹莫展. 只有阿貝尔灵机一动，脑海中浮现出图1：能否用数形结合的方法进行证明呢？尝试之下真就豁然开朗了.

而此时矩形恰恰变成如图3所示的边长为k的正方形.

不难看出，正是由于阿贝尔对数形结合的理解和运用了然于胸，证明才显得格外直观、巧妙简捷. 如果你意犹未尽，那么请观察图4的特征，尝试从中探究推断出某些数学结论.

可以判断的是，图4是由四个长为a、宽为b的矩形组合而成边长为a + b的大正方形，居中还围成一个边长为a - b的小正方形，因此，大正方形面积 = 小正方形面积 + 四个矩形的面积，即（a + b）2 = （a - b）2 + 4ab，这个大家都很熟悉.

如果把四个矩形沿对角线剪开，那么四个直角边为a，b的直角三角形仍可以继续组成边长为斜边c的较大正方形，居中仍围成边长为a - b的小正方形.

有没有眼前一亮的感觉？斜边的平方等于两条直角边的平方和，这不正是鼎鼎大名的勾股定理吗？没错，从图4到图5可以水到渠成地证明勾股定理，而且几乎是“得来全不费功夫”. 由此看来，数形结合思想果然有别具一格、曲径通幽的奇效！

（作者单位：扬州职业大学）