数学问题导学教案设计《22.1二次函数》

吴小明

一、教材分析

二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的應用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。

二、学情分析

初中学生比较注重直观和实用，需要经历对知识拓展、归纳、更新的过程。在教学上要注重引入二次函数概念的现实背景，让学生感受其实际意义，激发学生的学习兴趣，引导学生与原有的知识“函数和一次函数”的联系、比较，对二次函数的定义进行辨析，加深认识。

三、教学目标

1.能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。2.理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式。3.通过设置问题、类比、归纳等方法，引导学生思考、合作、交流，从而获得新知。

四、教学重点、难点

重点：结合具体情景体会二次函数的意义，掌握二次函数的概念和解析式。

难点：重视二次函数解析式中这一隐含条件

五、教学过程

【知识回顾】

1.大家回忆一下，什么是函数？

2.什么是一次函数、正比例函数？

一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数;特别地，当b=0时，变为y=kx时，叫做正比例函数.

设计意图：通过一些小问题活跃课堂气氛.

【新课引入】

1.正方形的面积=边长2.用字母y表示面积，x表示边长，式子表示为y=x2.

2.看到P28页的正方体，棱长记为x，表面积y=    .

问：函数y=6x2是一次函数吗？

这是我们即将要学习的二次函数

设计意图：开门见山引出课题《二次函数》

【自主学习】

我们再来看书本的两个实际问题.

1.n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系？

2.某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？

同学自主独立完成，师生一起公布答案。

观察我们写出的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数，并完成下表：

设计意图：让学生独立完成是因为：两个应用题都是公式型的应用题，学生能够使用公式得出函数表达式。

主问题一

1.思考：以上这三个函数有什么共同特点？

2.y=2x，y=-2x+1是什么函数？与以上的三个函数有什么异同？请大家进行小组讨论，然后和大家分享讨论结果。

学生回答：①一次函数的x的次数是1次，而我们新得出的三个函数x的次数可达到2次。

②一次函数由一次项和常数项组成，而新的函数都有二次项，y=6x2只有一个二次项，有二次项和一次项有二次项、一次项和常数项.

设计意图：生小组讨论，并汇报讨论成果，使得大家思考更加充分，更多同学得到表现和能呈现更多的其他角度的思考。

我们y=6x2，    ，        这类函数我们给它们一个名称，叫做二次函数。

我们再次回顾一次函数的定义：

一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数;特别地，当b=0时，变为y=kx时，叫做正比例函数.

主问题二：1我们能像一次函数一样写出二次函数的形式吗？

教师引导，举手回答。学生的答案：

2你能待一些a，b，c的数值进去写出一些二次函数的表达式吗？

设计意图：让学生举例的目的是，让学生认识到a、b、c这些字母是常数，不是变量，是变量的系数。

接着，教师给出二次函数的概念。

一般地，形如

的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

主问题三：1        满足什么条件时，会变成（1）（2）（3）的形式？学生思考后，分别回答当b=0;c=0;b=0且c=0时的二次函数的另外三个形式。

2说一说问题二中所写出的二次函数的a，b，c的值。

设计意图：充分认识系数a、b、c变化和转化，对函数的影响，体现二次函数的丰富性和特殊性。

【应用探索一】

下面这组练习让学生合作学习，4人小组没人回答一个问题。

对于二次函数表达式

等号左边是变量y，右边是关于自变量x的________.

2.a，b，c为常数，且_________，为什么？b、c等于0是什么形式？二次函数的特殊形式：当b=0时，y=_________;当c=0时，y=_________;当b=0，c=0时，y=__________。

3.等式的右边最高次数为_______，可以没有一次项和常数项，但不能没有项，为什么？

4.没有特殊要求的话，x的取值范围是________.

师生一起小结，再次认识二次函数的定义：

设计意图：这里题目起到举一反三的作用，巩固对概念的理解，升华对概念理性认识。

六、自我评价、小结

通过实际建模和对比比较一次函数的表达式，让学生认识二次函数出现的合理性与必然性，丰富了学生的函数知识，体会到事物之间的这种“对立”与“统一”的关系，拓展和培养了学生的发散思维和创新能力。