探索函数极值点的充要条件

摘要：函数的极值是高中数学的重要知识点，但在现行高中教材人教A版选修2-2中仅仅给出了函数 在 处取得极值的必要条件是 ，没有给出充要条件。作者查阅了高等数学相关资料，并结合多年教学实践，找到了一个符合高中学生学习实际的极值点的充要条件，用于解决高中数学中相关的极值问题。

关键词：高中数学;下凸函数;上凸函数;函数极值点的充要条件

【正文】函数的极值是高中数学的重要知识点，但在现行高中教材人教A版选修2-2中仅仅给出了函数 在 处取得极值的必要条件是 ，没有给出充要条件。那么函数 在 处取得极值是否存在充要条件呢？如果存在，又是否可以在高中数学中加于推广和运用，让解决极值问题的方法变得更加简单有效，带着这个问题，笔者查阅了高等数学中的有关资料，并对此展开进一步的探討。

一、函数的极值与凹凸性的关系

下凸函数定义：若D是函数 定义域内的某个区间，当 时恒有 ，则称函数 是区间D内的下凸函数（也称凹性函数），此时 图像在区间D内各点的切线都在图像的下方。如图1

上凸函数定义：若D是函数 定义域内的某个区间，当 时恒有 ，则称函数 是区间D内的上凸函数（也称凸性函数），此时 图像在区间D内各点的切线都在图像的上方。如图2

运用这个函数极值点的充要条件，可以更加便捷地处理高中数学中极值的有关问题，方法简单实用，容易掌握，也符合高中学生的学习实际，在应用中进一步提升了学生对函数极值的理解和认识。这一解决函数极值的方法，也在多年的教学实践中通过师生的广泛应用得到了检验。

参考文献：

[1]吉林大学数学系 《数学分析》 北京  人民教育出版社   1978

[2]《数学》选修2-2（普通高中课程标准实验教科书人教A版）2007

作者简介：王邦富，男，中学高级教师，从事高中数学教学35年，长期担任尖子班，特长班，英才班，实验班，宏志班的班主任和数学课，培优工作成绩突出，所教高三毕业班的学生中有1人获得省状元， 42人考入清华北大和港大。多次被学校评为“先进教师”，“优秀共产党员”，2013年9月被评为昭通一中首届“十佳教师”，2017年2月获得“云南省师德标兵”表彰。有多篇教育教学论文在国家级核心期刊和省级核心期刊上发表。