如何上好数学中函数图象及性质课

张亮

摘要：函数图象及性质教学在数学中处于核心地位。函数图象及性质的形成过程是一个观察、归纳、概括、抽象的过程。对函数图象及性质的了解应是多维度、多因素的，因此，函数图象及性质学习过程应是一个探究的过程。函数图象及性质教学中，不仅要重视函数图象及性质的生成过程,重视对函数图象及性质的内涵和外延的认识，也要重视将函数图象及性质向相关知识领域迁移，促进学习者能力的提高。

关键词：函数图象；函数性质；对数函数

1  教学分析

“对数函数及其性质”是人教A版《数学1》(必修)第二章“基本初等函数（I）”第二节课。函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所研究的重要的基本初等函数之一。本节内容是在已经学过指数函效、对数的基础上引入的，因此既是上述知识的拓展和延伸，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解。

本节课是一节函数图象与性质课。在形成函数图象与性质的过程中，应充分考虑到学生的认知水平，把学生已有的知识作为新知识的生长点。在探究对数函数的图象时，可借助几何画板演示图形动画，归纳出对数函数的图象。通过类比学习指数函数性质的过程，学生自然能够获得学习新知识数函数的性质的研究方向。在对数函数及其性质的学习中，重要的是让学生体验生成图象的过程，并获得学习新函数图象与性质的“基本套路”，即认识数学新对象的基本方法。

2  教学过程

2.1  感受新知

材料1：考古学家如何估算尸体出土的年代

考古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量P，利用 估算尸体出土的年代，不难发现：对每一个碳14的含量的取值，通过这个对应关系，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数.

材料2：细胞分离过程示意图

某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个 ……，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个 ……，不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数,即

设计意图：新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，不妨从学生自己的生活经历和实际问题入手”。因此，新课引入不是按照旧教材从反函数出发，而是选择从两个材料引出对数函数的概念，让学生熟悉它的知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型。这样处理，会使对数函数显得不抽象，学生更容易接受，降低了新课教学的起点。

2.2  探究新知

探究1.对数函数的定义

问题1：你能归纳材料1、材料2中两个函数的共同特征吗？

教师：引导学生归纳材料1-2中两个函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而抽象出对数函数的一般形式，然后给出对数函数的定义：

一般地，我们把函数 叫做对数函数（logarithmic function），其中 是自变量，函数的定义域是 .

探究2．对数函数的图象与性质

问题2：类比指数函数图象和性质的研究方法，怎样研究对数函数 的图象与性质呢？

教师设置活动：请按以下步骤共同探究对数函数的图象和性质

步骤一：（1）用描点法画出对数函数： ， 的图象（如图1）

（2）用描点法画出对数函数： ， 的图象（如图2）

步骤二：观察对数函数 、 与 、 的图象特征 ，看看它们有那些异同点。

步骤三：教师利用几何画板计算机，选取底数  ，且 的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象，如图3。观察图象，它们有哪些共同特征？进而猜想对数函数  ，且 的图象与性质。

步骤四：在学生自主探究、合作交流的的基础上归纳出能体现对数函数的代表性图象，从定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点等方面制作表格记录对数函数的性质。

设计意图：旧教材是通过对称变换直接从指数函数的图象得到对数函数图象的，这样处理学生虽然会接受这个事实，但对图象的感觉是肤浅的；这样处理也存在着函数教学忽视图象、性质的认知过程而注重应用的“功利”思想，因此，本节课的设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程，加深感性认识。同时，帮助学生确定探究问题及探究的方向和步骤，确保探究的有效性，这个环节，还要借助计算机辅助教学作用，增强学生的直觀感受。

2.3  应用新知

应用1：求下列函数的定义域：

（1） ；(2)  ．

应用2： 比较下列各组数中两个值的大小：

（1） ，   （2） ，

（3）  ,  （ ，且 ）.

设计意图：这个环节不作为本节课的重头戏，设置探究问题只是从另一层面上提升学生对性质的理解和应用。应用1是考察对数函数的定义域问题，注意对数中真数大于0的性质即可。应用2是比较大小，始终要紧扣对数函数模型，渗透函数的观点（数形结合）解决问题的思想方法。旧教材在图象与性质之后，通常练习类似比较大小等技巧性过大的问题，而新教材引出应用2，还是强调“数学建模”的思想，并且关注学科间的联系，这种精神应予以领会。当然要预计到，实际教学中学生理解这道应用题的题意时会遇到一些困难，教师要注意引导。

2.4  梳理总结

问题3：请同学们想一想，本节课我们学习了那些数学知识？用到了什么思想方法?用到了那些解题策略？你还有哪些困惑？（教师给出思维导图，如图4）

学生：分小组讨论，完成思维导图，并展示分享小组讨论成果。

教师：给出利用思维导图总结的结果展示。

设计意图：由学生通过思维导图梳理小结本节课学习的内容，教师加以提炼补充，并归纳学习函数图象及性质课的“基本套路”。同时通过思维导图进行课堂梳理与小结，能够使学生对本节课所学知识进行系统性把握，效果良好。教师利用思维导图设计课堂教学，以开发学生的创新思维和发散思维为本，结合学生特点灵活掌握数学知识，是实现课堂教学“高效”的有效途径。

3  教学反思

本节课是“对数函数及其性质（第一课时）”，“对数函数及其性质”是人教A版数学必修1的内容，有人说“课堂教学是学术研究的实践活动，既像科学家进入科学实验室，又像艺术家登上艺术表演的舞台，教学是一种创造的艺术，一种遗憾的艺术。”回顾这节课的设计，以下几点在实际教学过程中可以借鉴：

（1）运用几何画板画出函数图像，让学生更直观的观察出对数函数的图像。对突破本节课的重、难点起了很大的帮助。

（2）在引入新课时，教科书设计的情境对我们的学生来说，有点陌生和难，根据我校学生的实际情况我重新设计了教学情境，由于问题具有开放性，有简单易行，学生表现得都很积极。课堂开始让学生动起来了，一开始的问题不能太难，否则容易使学生陷入困境，从而失去进一步学习的兴趣。所以这样引入新课就自然了许多，学生接受起来也容易些。一堂成功的数学课，往往给人以自然、和谐、舒服的享受。所以设计恰当的情境引入新课是很重要的。

（3）通过选取不同的底数a的对数函数图象，让学生类比研究指数函数图象及其性质动手实际操作来画对数函数的图象，从而来探究对数函数的图像和性质。这个环节让学生独立学习，自主探究。还能让学生自己建构知识体系，没有传授也没有灌输。分类的思想学生在小学和初中就已经接触了很多，应该不陌生，但是要将其变成自己的学习方法、甚至能灵活运用，却不太容易。旧知要经常温习，已有的思想方法也要经常回顾。不同数学内容之间的联系和类比，有助于学生了解与中学数学知识有关的扩展知识及内在的数学思想，促使学生认真思考其中的一些问题，加深对其理解。