数形结合法探究初等函数的对称性

欧阳巧巧

【摘要】纵观近年全国卷试题，考查函数对称性的题频繁出现在选择填空题靠后的位置，难度比较大。函数的对称性包括函数的轴对称性和中心对称性，它们分别是偶函数和奇函数的延伸与拓展。本文系统地利用数形结合法阐述了一些初等函数的对称性，其直观性和系统性有利于学生的学习。

【关键词】初等函数;对称性;数形结合法

在全国卷和地方模拟卷中，函数的对称性这类题难度比较大，但是如果把偶函数和奇函数顺势迁移到函数的轴对称性和中心对称性，问题就能迎刃而解。本文从以下两个方面阐述初等函数的对称性。一是从理论方面全面系统地论述常见初等函数和抽象函数的对称性;二是结合实际的题目用数形结合法解决问题。

基本初等函数中指数函数和对数函数本身既无中心对称性又无轴对称性，但它们通过运算和复合后的初等函数可能具有对称性的。部分幂函数本身具有轴对称性或者中心对称性，幂函数通过加减乘除运算后的一元高次函数等初等函数也有轴对称性或者中心对称性、三角函数中的正弦型和余弦型函数、抽象函数的对称性分别如表一、二、三。

全国卷中出现过的关于函数对称性的选择题难度都比较大，这类有难度的题在地方模拟卷中也屡见不鲜。下面我们挑选部分题目，结合函数的图像进行解析。

一、幂函数运算复合后的初等函数的对称性

1.幂函数运算复合后的初等函数的轴对称性

学生对一元二次函数的轴对称性相关知识可以说非常熟悉了，但是对于一元四次函数的轴对称性并不熟悉。但是只要对轴对称性的本质能理解到位，做起题目来便得心应手。

例1.1（2013年1卷16）若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图像关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值是______.

解析：此题答案为16。我们容易看到函数f（x）的两个零点1和-1，且函数图像关于直线对称，故f（x）还有另外两个零点-3和-5，可以知道函数中f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的参数a=8，b=15，由函数四个零点和最高次的系数为负数，可以结合函数图形知道在（-5，-3）和（-1，1）之间取得最大值。然后通过求导的方法求出极大值点为-2±，进而求出极大值，即为最大值f（-2±）=16。

2.冪函数运算复合后的初等函数的中心对称性

首先来看简单的f（x）=x3+ax2+bx+c形式的一元三次函数的对称性，在2013年的全国卷2中以选择题的形式考查函数f（x）=x3+ax2+bx+c的性质，其中有涉及到中心对称性。在地方卷中我们可以看到对于此类函数的中心对称性的考查，例1.2.2就是例1.2.1的延伸。

例1.2.1（2013年全国2卷10）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）.

A.

B.函数y=f（x）的图像是中心对称图形

C.若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间单调递减

D.若x0是f（x）的极值点，则f '（x）=0

解析：此题答案选C。一元三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c的一阶导函数f '（x）为一元二次函数，二阶导函数f ''（x）为一元一次函数。结合三者的图像可知，二阶导函数f ''（x）的零点x0，即为一阶导函数f '（x）的对称轴x=x0与x轴交点的横坐标，也即为原函数f（x）的对称中心（x0，f（x0））的横坐标。如下函数图像可知A，B，C显然成立。

例1.2.2（2018年广州二模理数12）已知直线与曲线y=x3-x+1有三个不同交点a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3）且，则（xi+yi）=（ ）

A.0         B.1          C.2           D.3

解析：此题答案选D。由例1.2.1的结论可知点为该曲线的对称中心。令y''=6x=0得x=0代入y=x3-x+1得对称中心（0，1）。即B（0，1），A，C两点B关于点对称，xi=0，yi=3，则（xi+yi）=3。对一元三次函数的对称中心熟悉以后，这类题目便迎刃而解。

例1.2.3若函数f（x）=（1-x）（x2+ax+b）的图像关于点（-2，0）对称，x1，x2分别是f（x）的极大值点与极小值点，则x1-x2=（    ）

A.   B.   C.    D.

解析：此题答案选B。此题可以参考例1.1.1的方法，我们容易看到函数f（x）的零点1，且函数图像关于点（-2，0）对称，故（-2，0）在函数f（x）图像上，此外f（x）还有另外一个零点-5，可以知道函数f（x）=（1-x）（x2+ax+b）中的参数a=7，b=10，得函数f（x）=-x3-6x2-3x+10，令f'（x）=-3x2-12x-3=0，解得x=-2±。结合图像知

x1>x2，x1-x2=（-2+）-（-2-）=2。

此题还可以利用例1.2.1的结论，二阶导函数f''（x）的零点x0，即为原函数f（x）的对称中心（x0，f（x0））的横坐标。因此，我们可得f''（-2）=14-2a=0，f（-2）=3（4-2a+b）=0，也可以求出a=7，b=10。后面的解法同上。

接下来看更复杂的幂函数运算复合后的初等函数的对称性，对于不熟悉的函数我把它往熟悉的函数类型化简，从而看出函数的的对称中心。

例1.2.4（2018年厦门质检第9题）函数y=（x+1）3+与y=-x+b的图像的交点的横坐标之和为-2，则b=（    ）