义务教育阶段的数学建模（素养）及其培养

数学素养是现代社会每位公民应该具备的基本素养，数学建模就是其中的一种重要素养。因此，数学课程标准把培养和发展数学建模（素养）列入义务教育阶段数学课程目标。培养和发展中小学生的数学建模（素养），既是数学学习所必需，又是学生未来生存和创造的基础。

一、数学建模的内涵

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建数学模型、解决问题的素养，是数学学科核心素养之一。

在数学上，模型即数学模型（Mathematical Model）的简称。所谓数学模型，是指根据问题实际和研究对象的特点，为了描述和研究客观现象的运动变化规律，运用数学抽象、概括等方法，而形成的用以反映其内部因素之间的空间形式与数量关系的数学结构表达式，包括数学公式、逻辑准则、具体算法或一些特定的数学概念。

数学模型有广义和狭义之分。广义地说，数学中的许多重要概念（如方程、函数等）都称之为数学模型，正如张奠宙教授指出的，“加、减、乘、除都有各自的现实原型，它们都是以各自相应的现实原型作为背景抽象出来的”。比如，加法“a+b”可以理解为一个数学模型，它刻画了三个量a、b、a+b之间的特定关系。狭义地说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构才可以构成数学模型，而且这类数学模型大致可分为两类：一类是描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代数方程、微分方程、积分方程和差分方程等;另一类是描述客体或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究与创新的重要方法之一。

也就是说，按通行的、比较狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统和数学关系结构，才叫作数学模型。例如：（1）平均分配物品的数学模型是分数，它描述了总量、份数、一份的量三者之间的关系“总量=份数×一份的量”;（2）370人的年级里，一定有两位同学同一天过生日，其数学模型就是抽屉原理，即如果每个抽屉代表一个集合，n+1个（或n+1个以上）元素放到n个集合中去，其中至少有一个集合里有两个元素。

数学建模过程主要包括：在实际情境中，以数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、求解模型、检验结果、改进模型，最终解决实际问题。即，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题的数量变化和变量规律，求出结果并讨论结果的意义。

二、数学建模的意义和价值

数学建模（素养）的关键在于建立模型数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，而建模的关键在于学生具备将现实问题与数学内容之间构建关联的主动意识和能力。

小学最重要的两个模型是乘法模型与加法模型，即“路程=速度×时间”“总量=部分量之和”。有了这两个模型，就可以建立方程等模型，去阐述现实世界中的“故事”，进而帮助我们解决问题。小学数学中的大部分问题都可以归结为这两种模型。例如：在高速公路上，学生小A坐在几乎匀速前行的大巴车上。他想知道车辆行驶的速度，但是，他坐在车的后排，看不到驾驶室中的车速表。他不想打搅其他乘客与大巴车司机，而想通过自己的方式解决问题。怎么解决这个问题呢？想知道速度，必须寻找与此相关的其他量。小A自然想到“路程=速度×时间”模型，只要知道路程与时间就可以了。路程好解决，透过玻璃窗，他可以清楚观察到高速公路上的里程碑。时间怎么办？由于没有手表、手机，他想到了自己的脉搏——他平时的脉搏为68次/分。于是，他从37千米的里程碑开始号脉，到38千米时，脉搏跳动了34次，也就是汽车大约半分钟行驶了1千米。因此，車速是每分钟2千米，即120千米/时。

在上述问题的解决过程中，小A首先寻找与待解决问题密切相关的数学模型，而后寻找模型中的已知量，进而解决了问题。

在义务教育数学课程教学中，实施数学建模的教学就是要帮助学生理解性掌握数学中的重要概念、原理等所蕴含的数学模型，并在问题解决过程之中主动联想相关的模型，进而分析解决问题。

三、如何培养数学建模（素养）

1.让学生亲身经历数学模型建构的过程

数学建模的一般过程可以简化为现实问题数学化、模型求解、数学模型解答、现实问题解答验证4个阶段。这4个阶段实际上是完成从现实问题到数学模型，再从数学模型回到现实问题的不断循环、不断完善的过程（如图1）。

数学化是指根据数学建模的目的和所具备的数据、图表、过程、现象等信息，将现实问题翻译转化为数学问题，并用数学语言将其准确地表述出来。求解是指利用已有的数学知识，选择适当的数学方法和数学解题策略，求出数学模型的解答。解释是指把用数学语言表述的解答翻译转化成现实问题，给出实际问题的解答。验证是指用现实问题的各种信息检验所得到的实际问题的解答，以确认解答的正确性和数学模型的准确性。

图1直观地揭示了现实问题和数学模型之间的关系，即数学模型是将现实问题的信息加以数学化的产物。数学模型来源于现实又超越现实，它用精确的数学语言揭示了现实问题的内在特性。数学模型经过求解得到数学形式的解答，再经过一次转化回到现实问题，给出现实问题的决策、预报、分析等结果，最后这些结果还要经受实践的检验，完成由实践到理论再到实践这样一个不断循环、不断完善的过程。如果检验结果基本正确或者与实际情况的拟合度非常高，就可以用来指导实践，反之，则应重复上述过程，重新建立模型或者修正模型。

数学建模多以现实生活中的问题、其他学科中的问题作为问题情境，这些问题的解决必须借助于学生的数学知识方法和数学解题策略。通过数学建模活动，学生会切身体验到数学并非只应用于数学自身，它可以解决现实生活中和其他学科中的问题，在现实生活和其他学科中找到用武之地。

“一位成年女士究竟穿多高的高跟鞋是合适的”是一个非常现实的问题。对大多数亚洲女士而言，遗传原因往往导致为数甚多的女士上身长而下身短，产生视觉上的不协调。“先天的遗憾”需要“后天的弥补”。古希腊人研究发现，当一个人的肚脐眼处在身体的黄金分割点时，视觉效果最好。这就是一个典型的模型，将其抽象为数学模型就是“黄金比线段”，即，寻找给定线段的黄金分割点，形成黄金比例线段。于是，对于现实问题“一位成年女士究竟穿多高的高跟鞋是合适的”进行数学化，可以将其抽象为：

如图2所示，在线段的下部“接”多长的线段x，使得“接上”线段x之后，在线段a+x中，b+x刚好符合黄金比，即[b+x=5-12·（a+x）]。在小学，这个式子简写为[b+x]=0.618[（a+x）]。亦即，满足上述方程的未知数x为多少时，方程成立。解这个方程得到x，就是数学模型的解。但是，这个解是否符合实际意义，例如x的值为28厘米，就是不切合实际的，因为28厘米的高跟鞋几乎是不能穿的。

解决问题所需要的模型有两个：一个是“黄金比线段”，另一个是“一元一次方程”。对于前者，在解决问题的过程中，需要学生在心中事先拥有这个模型，需要将现实问题抽象为“黄金比线段”模型;后者是作为工具出现的模型——一元一次方程模型，但其建立模型的过程被简化了。上述问题的实际教学中，不仅需要帮助学生亲身经历建立模型、解决问题的过程，更要明晰其中的两个模型——“黄金比线段”“一元一次方程”，而不仅仅为了解决这一问题，其最终目的在于不断提升学生问题解决的综合能力。

2.将数学建模的教学融入方程、函数、不等式等核心概念的教学之中

“方程”概念的形成过程，可以充分体现其中所蕴含的模型思想。

例如：乐乐用72元买了10份汉堡包和爆米花，如果汉堡包每份8元，爆米花每份6元，那么，她买了几份汉堡包呢？

第一步，分析问题，寻找关系，并用自然语言刻画。问题中存在多个量，这些量之间存在一些关系，其中存在的相等关系是：

买汉堡包所需钱数+买爆米花所需钱数=总钱数

汉堡包份数+爆米花份数=总份数

汉堡包单价×汉堡包数量=买汉堡包所需钱数

爆米花单价×爆米花数量=买爆米花所需钱数

第二步，用半符号语言表达关系。如果我们用●表示汉堡包的份数，用■表示爆米花的份数，那么，上面的关系可以表示成：

●份+■份=总份数（10份）

8元/份×●份+6元/份×■份=总钱数（72元）

学生从一份汉堡包开始，分组验证;……

第三步，用数学符号语言表达关系。设买汉堡包x份，那么，上述关系可表示为：

x份+■份=10份

8元/份×x份+6元/份×■份=72元

于是，可以用（10-x）份表示爆米花的份数，从而，可将上面的关系式简写为：8x+6（10-x）=72。

上述过程可以用图表示，如图3所示：

在上述过程中，我们首先发现用自然语言描述的关系，而后用半符号语言、数学符号语言逐次表示关系，这个过程就是建立数学模型的过程，简称数学建模。像8x+6（10-x）=72这样含有未知数的等式叫作方程。

至于解方程，其基本思路就是，将含有未知数的项放在方程的一边，将不含未知数的项放在另一边，进行代数式化简和计算，即可将方程化为ax=b的形式，进而求出方程的解。

利用一元一次方程解决问题，核心在于方程的建模过程，即：发现问题中的等量关系[？]用等式表达关系[？]用符号语言表达关系[？]用含有未知数的方程表达关系[？]一元一次方程。解方程的要点在于“化繁为简、化生为熟”的化归思想。

对初中生而言，方程学习的核心，一方面在于数学建模，另一方面在于解方程：一元一次方程比较全面地展示了其中所蕴含的模型，即用等号将相互等价的两件事情联立，等号的左右两边相互等价，至于其中的关系是用自然语言表示的，还是用数学符号表达的，都不太重要，重要的是等号左右两边的两件事情在数学上是等价的。对于后者（即解方程），关键在于转化，即将新问题划归为以前可以解决的问题，利用已掌握的算法加以解决。这种化归、迭代的思想正是现代计算机的基本思想。

在义务教育数学学习中，我们必须帮助学生真正体会数学与现实生活密不可分的联系，体会方程是从现实生活到数学的一种提炼过程，是用数学符号提炼现实生活中的特定关系的一种过程。

在义务教育数学课程教学中，方程、函数（小学数学中蕴含函数的完整内容，只是没有出现“函数”一词）、不等式等核心数学内容，都可以有效体现数学模型。即：由数量抽象到数，由数量关系抽象到方程、函数（如正反比例）等;通过推理计算可以求解方程;方程模型构建必须经历从现实问题中发现等量关系并用自然语言表达，而后采取恰当的半符号语言表达等量关系，最后转换成符号语言表达等量关系并将已知与未知联系在一起，形成刻画等价关系的方程（模型）的过程。有了方程等模型，就可以把数学应用到客观世界中，而不同的模型所表达的内容不尽相同，各自有所侧重。

将数学建模的教学融入基本概念的日常教学之中，采取渗透、专题和系统梳理等途径，是数学模型的课程教学实施的成功策略。

总之，通过义务教育数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联;学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践经验;认识数学模型在社会、科学、工程技术等领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神，最终提升数学素养。

责任编辑  姜楚华

孔凡哲

教育学博士，中南民族大学教育学院副院长、二级教授、博士生导师，中南民族大学教育硕士学位中心主任，湖北民族教育研究中心主任，全国高考数学命题专家，国家义务教育数学课程标准研制组核心成员，高中数学课程標准研制组成员，教育部中学教师专业标准研制组成员、义务教育质量监测专家、教育现代化县级示范区评估专家、哲学社会科学重大重点项目评审专家;主持完成国家、省部级以上科研项目12项;出版专著47部;先后获得教育部第七届高等学校科学研究（人文社会科学）优秀成果奖著作奖、教育部第四届全国教育科学优秀成果奖著作奖、教育部第五届全国教育科学优秀成果奖著作奖等奖项。