曲径通幽 拨云见日——对一道解析几何试题的探究

重庆市合川中学(401520) 黄富国 王安国 李 娟

1 试题呈现

题目1(2020年重庆合川中学高二上期期中考试)已知圆心在x轴的正半轴上,且半径为2 的圆C被直线y=截得的弦长为

(Ⅰ)求圆C的方程;

(Ⅱ)设动直线y=k(x-2)与圆C交于A,B两点,则在x轴正半轴上是否存在定点N,使得直线AN与直线BN关于x轴对称? 若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

解(Ⅰ)圆C的方程为(x-1)2+y2=4.

(Ⅱ)设N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),由

得

所以

若直线AN与直线BN关于x轴对称,则kAN=-kBN⇒即

化简整理得2x1x2-(t+2)(x1+x2)+4t=0,所以

化简整理解得t=5,所以当点N为(5,0)时,直线AN与直线BN关于x轴对称.

试题以圆为背景,考查圆的方程,直线与圆的位置关系,探索是否存在满足条件的定点.从改卷的结果来看,本题的校平均分只有4.38,分数不够理想.针对这一种情况,笔者在考后与学的生交流中,发现部分学生不知如何将直线AN与直线BN关于x轴对称这一问题情境转化为数学关系式;有的学生虽然想到转化,但因运算错误导致结果错误.对称、定点问题是解析几何中的重要问题之一,有必要对此类问题进行全面、深入的探究.

2 试题拓展

数学家波利亚曾说:“解题就像采蘑菇,当你发现一个蘑菇时,它的周围可能有一个蘑菇圈.”解答完本题后,我们对题目1 中第(Ⅱ)问作如下反思:

1.动直线y=k(x-2)与圆C交于A,B两点,在x轴负半轴上是否存在定点N使得直线AN与直线BN关于x轴对称?

2.若把动直线改为y=k(x-5),则在x轴上是否存在定点N,使得直线AN与直线BN也关于x轴对称.

3.过圆外x轴上的点,作两条关于x轴对称的直线与圆相交,连接不对称两点的直线,则该直线是否过定点?

4.一般地,对于圆C:(x-a)2+y2=r2,过圆内x轴上点P的直线与圆C交于A,B两点,若在x轴上存在定点N使得直线AN与直线BN关于x轴对称,那么P,N两点的坐标与半径r之间又存在怎样的数量关系?

为了探究以上问题的方便,不妨设圆的方程为x2+y2=r2,笔者通过逐步、深入地分析,得如下结论.

结论1已知圆O:x2+y2=r2,P(t,0),Q(n,0)是x轴上不同的两点(都异于圆心和左右顶点),过点Q的直线l与椭圆C交于A,B两点,则直线PA,PB关于x轴对称的充要条件是tn=r2.

证明当直线l与x轴重合时,直线PA,PB关于x对称,此时tn可以取任意实数;当直线l不与x轴重合时,设直线AB方程为x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),由得(m2+1)y2+2mny+n2-r2=0,所以

因为

直线PA与直线PB关于x轴对称

故

综上,直线PA,PB关于x对称的充要条件是tn=r2.

结论中呈现了直线与圆位置关系,直线与直线的对称关系以及定点坐标间的数量关系,结合图形的几何特征,我们可从静态和动态两个方面对结论1 中的图形做进一步赏析.

图1

从静态方面看,在图1中,延长PB交圆O于D,连接CD,若直线PA,PB关于x轴对称,由图形的对称性,易得直线QA,QC也关于x轴对称;反之亦成立.

图2

从动态方面看,在图2中,直线AB绕Q点旋转时,若直线PA,PB关于x轴对称,则直线QA,QC也关于x轴对称且动直线AC过定点P;反过来,直线AC绕点P旋转时,若直线QA,QC关于x轴对称,则直线PA,PB也关于x轴对称且动直线AB过定点Q.再结合圆的几何性质,当直线AB绕定点Q旋转时(不重合于x轴),ΔAOQ∽ΔAOP始终成立,定点P,Q的坐标关系也可通过如下方式证明.

图3

证明图3为去除坐标轴的平面几何图形.连接AO并延长交圆O于D,连接BD;延长PB交圆O于C,连接AC交PO于E.因为AD为圆O的直径,所以∠ABD=∠PEC=90°;又因为∠ADB=∠ACB,所以RtΔABD∽RtΔPCE.

因为RtΔPCE∽=RtΔPAE,所以RtΔABD∽RtΔPAE,得∠OAQ=∠APQ,又∠AOQ=∠AOP,所以ΔAOQ∽ΔAOP,故即nt=r2.

可以发现,相比较于代数法,平面几何法的证明过程要显得简洁直观.因为解析几何问题本质是几何问题,它们本身就包含一些很重要的几何性质.如果我们可以充分利用这些几何性质,它们其实就是纯几何问题,完全可以借助平面几何的知识加以解决.这样不但能避开繁琐的代数运算,使解决问题的过程得到简化,而且能更好地揭示问题的本质.

3 试题推广

椭圆可由圆“压缩”而得到,类比于圆,椭圆是否也具有类似的结论呢? 回答是肯定的.

结论2已知椭圆P(t,0),Q(n,0) 是x轴上不同的两点(都异于椭圆的中心和顶点),过点Q的直线l与椭圆C交于A,B两点,则直线PA,PB关于x轴对称的充要条件是tn=a2.

证明当直线l与x轴重合时,直线PA,PB关于x对称,此时tn可以取任意实数;当直线l不与x轴重合时,设直线l的方程为x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2).则由得(m2b2+a2)y2+2mnb2y+b2n2-a2b2=0.y1+y2=因为直线PA,PB关于x对称⇔kPA+kPB=0,而

故

综上,直线PA,PB关于x对称的充要条件是tn=a2.

椭圆、双曲线和抛物线同属于圆锥曲线,它们往往有相通的性质.笔者利用几何画板探究双曲线和抛物线,发现它们也具有这一类似性质,又得下述结论.

结论3已知双曲线P(t,0),Q(n,0) 是x轴上不同的两点(都异于双曲线的中心和顶点),过点Q的直线l与双曲线C交于A,B两点,则直线PA,PB关于x轴对称的充要条件是tn=a2.

结论4已知抛物线C:y2=2px(p＞0),P(t,0),Q(n,0) 是x轴上不同的两点(都异于抛物线的顶点),过点Q的直线l与抛物线C交于A,B两点,则直线PA,PB关于x轴对称的充要条件是t+n=0.

双曲线的证明只需将椭圆中b2换成-b2即可,抛物线的证明方法和椭圆、圆类似,其证明过程在此不再赘述,读者可自行证明.

上述结论体现了数学对称、简洁、和谐和统一之美,同时它们已成为高考命题的一个藏宝库.笔者查阅了近几年的高考试题,发现圆锥曲线中的这一结论已考查过多次,如2013年陕西卷理科第20 题,2015年全国Ⅰ卷理科第20 题,2015年高考北京理科第19 题,2015年四川理科第20 题,2018年全国理科Ⅰ卷第19 题等.通过对图形的对称性进一步分析,我们也可大胆猜想,图像关于坐标轴对称的曲线方程f(x2,y)=0、f(x,y2)=0、f(x2,y2)=0 也都具有这一类似结论.

4 试题变式

下面利用结论对试题进行变式.

变式1如图4,已知P为圆O外一点,PO为∠APB的角平分线,弦AB交PO于点Q.若|OQ|=2,|OP|=8,求圆O的半径长?

此题与文首试题1 本质上完全一致,固定点P,Q到圆心O的距离,把题目中的直线PA,PB关于x轴对称,等价转换为PO是∠APB的角平分线,从而得到一个纯平面几何题.显然,由结论1 可得

图4

图5

变式2如图5,已知椭圆过点P(4,0)的直线与椭圆C交于A,B两点,设O为原点,点M与点A关于x轴对称,直线MB交x轴于点Q,问:y轴上是否存在点N,使得∠ONP=∠OQN? 若存在,求出N点坐标;若不存在,请说明理由.

此题为文首试题1 的简单变形,把以圆为背景替换为椭圆,并设置条件A关于x轴对称M,再结合P,Q两点坐标的数量关系,从而把试题改造为探索性、开放性试题.由结论2 和此题条件可知,Q为定点且坐标为(1,0),若在y轴上存在N点使得∠ONP=∠OQN,则RtΔOPN∽RtΔOQN.得即|ON|2=4,故在y轴上存在点N坐标为(0,±2).当然,此题也可利用解析法进行求解.

5 结束语

解析几何问题的本质仍是几何问题,解题时要善于“拨云见日”,充分把握解析几何图形的特征,紧扣其中的关键几何要素,挖掘图形的几何性质,恰当地运用平面几何的相关的知识,往往能简化运算,优化解题过程,能起到四两拨千斤的功效.

波利亚曾说:与其穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目,还不如适当选择某些有意义的题目去帮助学生发掘题目的各方面,在指导学生解题的过程中,提高他们的才智和推理能力.教师选定一个典型试题,引导学生对试题进行拓展和推广,并将问题引向深入,探索隐藏在题目背后的奥秘,挖掘题目的真正内涵,找到解决这个问题与解决其他问题在思维上的共性.这样我们才能领会试题命制的深刻背景,才能引领学生跳出题海,真正做到触类旁通,举一反三.在此过程中,同时培养了学生的逻辑推理能力和发散思维能力,还无形中提升了学生的核心素养.