挖掘函数性质求解参数范围

广东省佛山市罗定邦中学(528300) 龙 宇

2020年佛山一模理科试题第10 题主要考查了函数解析式中参数的取值范围问题,题干简洁明了,但内涵丰富,是一道难得的好题.

一、题目及分析

题目已知函数f(x)=+2x+1,且f(a2)+f(2a)＞3,则a的取值范围是( )

A.(-∞,-3)∪(1,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,+∞)

C.(-2,0) D.(-1,3)

分析函数f(x)的结构包括指数函数以及幂函数,所给的条件为不等式,如果将参数带入表达式则得到一个超越方程,求解的难度很大.为此我们联想到分析函数f(x)的性质作为解题的突破口.

二、解析过程

在具体求解之前,我们首先回顾对称函数的定义以及相关的两个定理.

函数的对称性包括轴对称及中心对称.特别地,当函数的对称中心为原点时该函数为奇函数;当函数的对称轴为y轴时,该函数为偶函数.

定义1若f(m+x)+f(m-x)=2n(或f(x)+f(2mx)=2n)对任意实数x成立,则称f(x)是以(m,n)为对称中心的中心对称函数.

定义2若f(m+x)=f(m-x)(或f(x)=f(2m-x))对任意实数x成立,则称f(x)是以x=m为对称轴的轴对称函数.

定理1假定函数f(x) 是以(m,n) 为对称中心的中心对称函数,且f(x) 为增函数.若x1+x2＞2m,则有f(x1)+f(x2)＞2n;若x1+x2＜2m,则有f(x1)+f(x2)＜2n.反之亦成立.

证明由x1+x2＞2m得x1＞2m-x2,由f(x)为增函数得:f(x1)＞f(2m-x2).根据f(x)关于点(m,n)对称得:f(x2)+f(2m-x2)=2n.

代入上式可得f(x1)＞f(2m-x2)=2n-f(x2).移项得f(x1)+f(x2)＞2n成立.以上所有推理过程均可逆,可得若f(x1)+f(x2)＞2n,则x1+x2＞2m成立.

定理2假定函数f(x) 是以(m,n) 为对称中心的中心对称函数,且f(x) 为减函数.若x1+x2＞2m,则有f(x1)+f(x2)＜2n;若x1+x2＜2m,则有f(x1)+f(x2)＞2n.反之亦成立.

现研究函数f(x)=+2x+1 的对称性以及单调性.

注意到f(-x)=则有f(x)+f(-x)=3,故可得函数f(x)关于点对称.由于

容易证明f′(x)≥2-＞0,即有函数f(x)在R 上单调递增.

根据定理1,可得a2+2a＞0,计算可得a的取值范围是(-∞,-2)∪(0,+∞).

那么如何在考试的过程中快速地想到利用函数的性质呢? 其关键在于能否快速地识别函数的性质(特别是对称性),需要我们在平时的学习过程中要善于总结中心对称以及轴对称函数的相关性质以及了解对称函数的构造原理.

三、对称函数常见的构造方式

以奇偶函数为例,常见的构成方式如下:

(一)函数本身具有奇偶性,或通过四则运算得到新的奇偶函数,如:

y=x,y=sinx,y=x-1,y=cosx,y=x2,y=xsinx,···

(二)函数本身不具有奇偶性,却通过四则运算得到新的奇偶函数,如:

y=f(x)+f(-x),y=f(x)-f(-x),如:y=ax+a-x,y=ax-a-x,y=

(三)通过分段函数实现,即F(x)=为偶函数,G(x)=为奇函数,例如:

F(x)=G(x)=等.

(四)通过指、对数运算实现奇偶函数,如:

将以上的奇偶函数通过平移即可获得一般的对称函数.回到本文提到的初始问题,函数f(x)=+2x+1 可理解为由相加构成.前两个函数均为奇函数,根据奇函数的性质,两者相加仍为奇函数,注意到第三个函数是向上平移个单位,即可快速地得知函数f(x)是对称中心为的中心对称函数.

四、利用函数的对称性以及原理解题举例

例1已知函数f(x)=1++sinx-x3在区间[-k,k](k＞0)的值域为[m,n],则m+n=( )

A.0 B.1 C.2 D.4

解析函数f(x)=+sinx-x3+1,该函数可理解为由h(x)=以及y=1 三部分构成,根据上面的分析可知h(x)+t(x)仍为奇函数,其对称中心仍为(0,0),将h(x)+t(x)的图像向上平移一个单位即可求得函数f(x)的图像,即可得函数f(x)也为中心对称函数,其对称中为(0,1).

根据中心对称函数的定义,在区间[-k,k](k＞0)上,存在x0使得f(x0)=n,根据中心对称函数的对称性,则有f(-x0)=m.根据中心对称的定义可得:m+n=2.

例2已知函数f(x)=+cosx+2 在区间的值域为[m,n],则m+n=( )

A.0 B.1 C.2 D.4

解析仿照上例将函数f(x) 分拆为三部分:y=以及y=2.分别分析可知函数f(x)关于对称.即可知m+n=4.

例3解不等式

解析构造函数:f(x)=x3-3x2+4x=(x-1)3+(x-1)+2.根据上面的对称函数构造原理可知该函数为中心对称函数,对称中心为(1,2).对函数f(x) 求导可得:f′(x)=3x2-6x+4＞0 恒成立.所以f(x)在R 上单调递增.

原不等式⇔f(x)+＞2×2,根据上面的定理1可得:x+＞2×1.化简可得:x∈(0,1)∪(1,+∞).

评析若利用常规方法解答该题,则涉及到高次方程的因式分解问题.运用这里提及的技巧可极大地简化运算过程.