揭开斐波那契数列的神秘面纱

万广磊

有这样一个数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368......這个数列前两个数均为1，从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

公元前200年左右，一位印度数学家在研究用箱子包装物件长度恰好为1和2时的方法时首先描述了这个数列。到了中世纪，来自意大利的数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例引入这组数列，故又称为“兔子数列”，后来命名为“斐波那契数列”。

在自然界中，一些植物的花瓣、萼片、果实的数目以及排列的方式，都是非常贴合斐波那契数列的。在一定条件下，我们通过细致观察可以发现，向日葵的花盘中有2组螺旋线，一组以顺时针方向盘绕，另一组则按照逆时针方向盘绕，并且彼此相嵌。虽然不同的向日葵品种中，这些顺逆螺旋的数目并不固定，但这些数目往往不会超出34和55、55和89、89和144这三组数字，每组数字都是斐波那契数列中相邻的两个数。

再比如树木的生长。新生的枝条需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝。一株树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发;此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝丫数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

我们观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目也具有斐波那契数：3、5、8、13、21......通常来说，百合花花瓣数为3，梅花花瓣数为5，飞燕草花瓣数为8，万寿菊花瓣数为13，向日葵有21和34两个数目的花瓣数，雏菊有34、55和89三个数目的花瓣数。

为什么自然界中有如此之多的斐波那契数列巧合呢？这是植物在大自然中长期适应和进化的结果，是为了让自己最充分地利用阳光和空气，繁育更多的后代。当然，受气候或病虫害的影响，很多植物生长不一定严格按照斐波那契数列。

众多的数学爱好者对于斐波那契数列的研究热情很高，也编拟出了很多与之有关的数学趣题，下面我们一起来看看吧。

一、台阶的走法

面对11级台阶，小敏一步只能上1级台阶或2级台阶，那么1级台阶只有1种走法，记为（1）;2级台阶有两种走法，记为（1、1），（2）;3级台阶有3种走法，记为（1、1、1），（1、2），（2、1）;4级台阶有5种走法，记为（1、1、1、1），（1、1、2），（1、2、1），（2、1、1），（2、2）......小敏发现，当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级......逐渐增加时，上台阶的不同走法依次为1、2、3、5、8、13......这就是著名的斐波那契数列。那么小敏上到11级台阶共有（  ）种不同走法。

A.34B.89C.144D.233

【解析】根据题意可知，第7级的走法有8+13=21种，第8级的走法有13+21=34种，第9级的走法有21+34=55种，第10级的走法有34+55=89种，第11级的走法有55+89=144种。故选C。

二、黄金分割比

“相邻两个斐波那契数的比值随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比5-1=20.6180339887...”是斐波那契数列的另一个性质。请探究猜测该数列中的第2020项与2021项的比值与黄金分割比的大小关系为（）。

【解析】根据数列可知，斐波那契数列中奇数项与后一项的比值大于黄金分割比，偶数项与后一项的比值小于黄金分割比。因为第2020项是偶数项，所以第2020项与2021项的比值小于黄金分割比。故选C。

三、斐波那契螺旋线

如图，矩形ABCD是由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分。在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（）。

【解析】由已知可得，矩形ABCD的面积为（3+5）×（2+3+8）=104，又因为阴影部分的面积为4（12+12+22+32+52+82）=26π，所以26ππ该点取自阴影部分的概率为104=4。故选D。

四、实数的运算

意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8......人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列。设a1=1，a2=1，a3=2，a4=3，a5=5......则（a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7+a6a8）-（a22+a32+a42+a52+a62+a72）=（）。

A.0B.-1C.1D.2

【解析】因为a1a3-a22=1×2-1=1，a2a4-a32=1×3-22=-1，a3a5-a42=2×5-32=1……

所以（a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7+a6a8）-（a2+a2+a2+a2+a2+a2）=0。故选A。

（作者单位：江苏省南京市鼓楼实验中学）