实际问题中的方程与不等式模型

李智勇

建立模型是学习“数学应用”的最佳方式之一，它能够让同学们深刻体会到数学在实际生活中的应用。随着中考对“理论联系实际”能力考查的注重，这就要求我们能够从实际问题中抽象出蕴含的方程与不等式，找出等量关系和不等关系，建立方程（组）模型和不等式（组）模型，从而把实际问题转化为数学模型，然后运用数学知识来解决实际问题。

例1某商店购进甲、乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同。

（1）求甲、乙商品的进货单价;

（2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于9000元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于10480元，问有哪几种进货方案？

（3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲、乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）设甲商品的進货单价是x元，乙商品的进货单价是y元，根据“甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同”即可列方程组求解;

（2）设甲进货x件，乙进货（100-x）件，根据“两种商品的进货总价不高于9000元”“两种商品全部售完后的销售总额不低于10480元”即可列不等式组求解;

（3）根据每个商品的利润列出总利润的函数，利用函数的性质即可求解。

解：（1）设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元。

根据题意，得ìíx-y=20，?20x=25y。

解得{x=100，y=80。

答：甲商品的进货单价是100元，乙商品的进货单价是80元。

（2）设甲商品进货x件，乙商品进货（100-x）件。

根据题意，得

ìí100x+80（100-x）≤9000，

?100x（1+10%）+80（100-x）（1+25%）≥10480。解得48≤x≤50。

∵x是正整数，则x的值是48或49或50。所以有3种进货方案：甲商品进货48件，乙商品进货52件;甲商品进货49件，乙商品进货51件;甲商品进货50件，乙商品进货50件。

（3）销售的利润w=100×10%x+80（100-x）×25%，即w=2000-10x，

∵-10<0，∴w随x的增大而减小，

∴当x取得最小值48时，w取得最大值，是2000-10×48=1520（元）。

此时，乙商品进货量是100-48=52（件）。

答：当甲商品进货48件，乙商品进货52件时，利润最大，是1520元。

【点评】本题是实际生活中的“市场营销”问题，考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，以及一次函数的性质。正确求得甲商品进货数量的范围是关键。

例2“绿水青山就是金山银山”。为保护生态环境，A、B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：

（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元;

（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数少于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员的方案？

【分析】（1）设清理养鱼网箱的人均费用为x元，清理捕鱼网箱的人均费用为y元，根据A、B两村庄总支出列出关于x、y的方程组，解之即可;

（2）设m人清理养鱼网箱，则（40-m）人清理捕鱼网箱，根据“总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数少于清理捕鱼网箱人数”列不等式组求解即可。

解：（1）设清理养鱼网箱的人均费用为x元，清理捕鱼网箱的人均费用为y元。

答：清理养鱼网箱的人均费用为2000元，清理捕鱼网箱的人均费用为3000元。

（2）设m人清理养鱼网箱，则（40-m）人清理捕鱼网箱。

根据题意，得

∵m为整数，∴m=18或m=19。所以有2种分配清理人员方案：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱;19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱。

【点评】本题是实际问题中的“方案安排”问题，主要考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。解题的关键是找到题目蕴含的相等关系或不等关系，并据此列出方程或不等式。

例3建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程。某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成。由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方。

（1）问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？

（2）在抽调甲队外援施工的情况下，为了保证150天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械来提高效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务？

【分析】（1）设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方，根据甲、乙两队合作150天完成土方量120万立方，甲队施工110天，乙队施工150天完成土方量103.2万立方，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可;

（2）设乙队平均每天的施工土方量比原来提高a万立方才能保证按时完成任务，根据完成工作的总量=甲队完成的土方量+乙队完成的土方量，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可。

解：（1）设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方。

根据题意，得

答：甲队原计划平均每天的施工土

方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方。

（2）设乙队平均每天的施工土方量比原来提高a万立方才能保证按时完成任务。

根据题意，得110×0.42+（40+110）×（0.38+a）≥120。解得a≥0.112。答：乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务。

【点评】本题是实际问题中的“科学决策”问题，考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用。解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组;（2）根据各数量之间的关系，找出关于a的一元一次不等式。

（作者单位：江苏省南京市鼓楼实验中学）