构造基本图形，巧解含有45°角的问题

余旭红

以函数为载体的几何问题始终是近几年全国各地中考的热点试题。要解决此类问题，我们常把“形”转化为运算，达到“化形为数”的目的;同时一定要充分利用几何的基本性质

（如勾股定理和三角形的全等与相似、等腰三角形和特殊四边形的性质等），抓住问题表象中的隐含条件，构造出基本图形，结合平面直角坐标系的有关计算，达到几何与代数的完美结合。我们以一道典型试题为例，说明通过构造基本图形，巧妙解答含有45°角的问题。

例题呈现如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交x轴、y轴于A、B两点，已知点C（2，0）。

设P为OB的中点，连接PA、PC，若∠CPA=45°，求m的值。

方法一：构造“一线三等角”基本图形，利用相似三角形性质巧妙解决问题。

【解析】如图2，在y轴上截取OD=OC，可得∠PDC=45°，可证得△ABP

12m∽△PDC，从而可得DC=DP，即22

BPBA=12m+2，解得m=12。

【解题感悟】“一线三等角”基本图形往往能建立三角形相似或全等。抓住∠CPA=∠PBA构造等腰Rt△OCD，得到∠CPA=∠PBA=∠PDC=45°，形成“一线三等角”的基本图形，再利用相似三角形的基本性质列出方程，从而巧妙地求解m的值。

方法二：构造“三垂型”基本图形，利用全等三角形性质巧妙解决问题。

【解析】如图3，过点C作DC⊥PC，交AP于点D，作DE⊥x轴，易得△OPC≌△ECD，从而可得DE=CO=2，

【解题感悟】“三垂型”基本图形往往能建立三角形相似或全等。在例题的求解中，构造等腰Rt△PCD，构造Rt△DCE，从而可得∠POC=∠PCD=∠CED=90°，形成“三垂型”基本图形。由PC=CD即得到△OPC与△ECD全等，利用全等三角形的性质和平行线分线段成比例定理列出方程，从而巧妙地求解m的值。

方法三：构造“正方形”，利用相似三角形性质巧妙解决问题。

我们先回顾一下正方形内含45°角的基本图形的重要结论。

如图4，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且∠FAE=45°，求证：FD+BE=EF。

【思路分析】将△ADF绕着点A顺时针旋转90°得到△ABG，可证得G、B、E三点共线，∠GAE=∠FAE=45°，从而根据AG=AF，AE=AE，证得△AGE≌△AFE，得到GE=EF，由于GB=FD，GE=GB+BE，即得到FD+BE=EF。

【解析】如图5，过点P构造正方形OPDE，使得点D、E分别在AB、OA的边上。∵DE∥BO，P为BO中点，∴=，=，可得DN=NE=14m。根据题前回顾可知（完整解题时需给出证明），CN=DN+OC，即在Rt△CEN中，CN=2+14m，CE=12m-2，NE=14m，则（12m-2）2+（14m）2=（2+14m）2，解得m=12。

【解题感悟】像这种在正方形中含有45°角的图形我们可以称之为“正方形半角”基本图形，这是一种常见的基本图形。这类问题一般可以利用旋转得到全等三角形，进而得到线段之间的关系，再在直角三角形中通过勾股定理列出方程，从而巧妙地求解m的值。方法四：构造“等腰直角三角形”，利用相似三角形性质巧妙解决问题。

【解析】如图6，作CD⊥AP于点D，则△PCD为等腰直角三角形，则PC=2CD。由△ACD∽△APO，可知ACCD5AP=PO，由AC=m-2，AP=2m，PO=15102m，则CD=5（m-2），易得PC=5（m-2）。在Rt△POC中，PO=12m，OC=2，则22+（2m）2=[5（m-2）]2，解得m=12。

【解题感悟】依靠∠CPA=45°，构造等腰Rt△CPD，同时又构造出△ACD∽△APO，得到相應线段间的数量关系，在直角三角形中通过勾股定理列出方程，从而巧妙地求解m的值。

（作者单位：浙江省绍兴市柯桥区浙光中学）