数式型规律探索题的解题技巧
2020-09-06陆敏
陆敏
初中数学规律探索问题是数学学习中常见的一类题型，也是近年来中考数学的热点题型。就其形式而言有数式、图形、数形结合等方式。下面，老师就以数式型规律探索题为例，谈谈解答技巧。
例1（2019·湖北武汉）观察等式：2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2......已知按一定规律排列的一组数：250、251、252......299、2100。若250=a，用含a的式子表示这组数的和是（）。
A.2a2-2aB.2a2-2a-2
C.2a2-aD.2a2+a
【分析】我们要通过观察，分析、归纳其中的规律，并应用发现的规律解决问题。解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+...+2n=2n+1-2。那么250+251+252+...+299+2100=（2+22+23+...+2100）-（2+22+23+...+249），将规律代入计算即可。
解：∵2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2......
∴2+22+23+...+2n=2n+1-2，∴250+251+252+...+299+2100=（2+22+23+...+2100）-（2+22+23+...+249）=（2101-2）-（250-2）=2101-250，∵250=a，∴2101=（250）2·2=2a2，
∴原式=2a-a。
故选C。
例2（2019·山东济宁）已知有理数a=?1，我们把1称为a的差倒数，1-a如：2的差倒数是1=-1，-1的差倒数是1-（-1）=2。如果a1=-2，a2是a1的差111-2倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数......依此类推，那么a1+a2+...+a100的值是（）
【分析】解决本题，我们要通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况。求出数列的前4个数，从而得出
这个数列以-2，1，3依次循环，且-2+131323+2=-6，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案。
解：∵a=-2，∴a=1=1，a=121-（-2）33
A.-7.5B.7.5C.5.5D.-5.5
1=3，a=1=-2......
1-13241-32
13∴这个数列以-2，，依次循环，
13132且-2+3+2=-6，
故选A。
例3（2019·湖南株洲）从-1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作ak，bk）构成一个数组MK={ak，bk}（其中k=1，2......S，且将{ak，bk}与{bk，ak}视为同一个数组），若满足：对于任意的Mi={ai，b}i和Mj={aj，b}j（i=?j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi=?aj+bj，则S的最大值（）。
【分析】找出ai+bi共有几个不同的值是解题的关键。求出ai+bi的值，结合对于任意的Mi={ai，b}i和Mj={aj，b}j（i=?j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi=?aj+bj，即可得出S的最大值。
解：∵-1+1=0，-1+2=1，-1+4=3，1+2=3，1+4=5，2+4=6，
∴ai+bi共有5个不同的值。
又∵对于任意的Mi={ai，b}i和Mj={aj，b}j（i=?j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi=?
aj+bj，
∴S的最大值为5。
故选C。
例4（2019·贵州安顺）如图1，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是。
【分析】解决本题的关键是仔细观
察，探究规律，利用规律解决问题。观察图表可知第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，再观察每一行数字的变化规律，从而推出
结果。
解：观察图表可知第n行第一个数是n2，
∴第45行第一个数是2025，
∴第45行、第7列的数是2025-6=2019。
故答案为2019。
例5（2019·海南）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和。如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是，这2019个数的和是。
【分析】解决本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律。我们可以根据题意写出这组数据的前几个数，从而依据数字的变化规律解决问题。
解：由题意可得，这列数为：0，1，1，0，-1，-1，0，1，1......
∴前6個数的和=0+1+1+0+（-1）+（-1）=0，
∵2019÷6=336...3，
∴这2019个数的和=0×336+（0+1+1）=2。
故答案为0，2。
例6（2019·安徽）观察以下等式：
......
按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：;（2）写出你猜想的第n个等式：
（用含n的等式表示），并证明。
【分析】解决本题的关键是根据已知等式得出2=1+1的规
2n-1nn（2n-1）律，并熟练加以运用。
解：（1）第6个等式为2=1+1。21111666
（2）=+。2n-1nn（2n-1）
证明：∵右边=1+1
nn（2n-1）
2n-1+1=2=左边。
n（2n-1）2n-1
∴等式成立。
故答案为2=1+
探索规律型试题体现了数学中的归纳、猜想的思考方法和转化的数学思想。根据条件中的信息，结合自己掌握的知识，做出一种可能存在的规律性的结论推断，这就是归纳、猜想的过程。解决这类问题的思路是从简单的、局部的、特殊的情形出发，经过提炼、归纳、猜想，寻找到一般的规律，从而解决问题。
（作者单位：江苏省南京市鼓楼实验中学）
