基于Edgeworth展开指数分布平均寿命比率的统计推断

邢刚 袁守成

摘要：在产品寿命服从指数分布无替换定数截尾寿命试验的场合下，基于Edgeworth和Cornish-Fisher展开方法，得到了两独立总体平均寿命比率的精确渐近分布函数及置信区间。经分析，所得的置信区间不仅适用于大样本情况，而且对小样本的估计效果尤为良好。

摘要：指数分布;Edgeworth展开;平均寿命比率

产品质量是企业发展的关键因素之一，而产品寿命又是产品质量的一个重要评价指标。在企业生产的创新升级中，人们往往需要通过检验产品的寿命是否发生改变来判断生产改造的效果，并且要求检验的结果越精确越好。因此，两总体的产品平均寿命比率在产品的质量分析中是一个重要的研究课题。指数分布是产品寿命可靠性分析中一种常见的分布，设产品寿命服从参数为的指数分布，其密度函数为：

其中 0，记作。易知产品的平均寿命为参数，故两独立总体的平均寿命比率为它们的参数之比。

关于产品平均寿命比率的研究已取得一些成果，文献参考文献：

[1]给出了两独立总体平均寿命比率枢轴量的渐近分布，但该方法对小样本的估计效果不显著。文献[2]利用广义变量的方法给出了双参数指数分布平均寿命比率的置信区间，但该方法所得结论不具有一般性。在文献[3]中，作者利用Edgeworth展开方法得到了双参数指数分布平均寿命比率枢轴量的渐近分布和置信区间，但给出的结论仅是二阶展开，在小样本情况下效果不是很令人满意。

本文基于无替换定数截尾寿命试验，利用Edgeworth和Cornish-Fisher展开方法，在文献[3]的研究基础上进一步讨论了服从指数分布的两总体平均寿命比率，并分别给出了平均寿命比率枢轴量渐近分布及其置信区间的一般形式。由于在Edgeworth展开中保留了更多的分布信息，所以明显地提高了区间估计的效果，对于小样本的情况效果更加显著。

; 定义1 设是一组来自总体X容量为n的样本，且，.记的相合无偏估计量. 若S_n渐近服从标准正态分布，则称：

为分布函数的Edgeworth展开，其中和分别为标准正态分布的分布函数和密度函数。而为依赖于变量的累积量的函数。

由文献[7]可知，多项式的最高次幂为.易见，若为偶数时，则为奇数次幂多项式;若为奇数时，则为偶数次幂多项式。当时，有

其中为标准化随机变量的累积量，且

定义2 设的分布函数满足Edgeworth展开，用表示的 分位点，即，Z_a表示的分位点，则称：

（5）

为分位点的Cornish-Fisher展开，其中是可以用表示关于 的多項式函数。

引理1 设为来自指数分布，样本容量为n 的无替换定数截尾寿命试验前r个样本，试验总时间.产品的平均寿命，的最大似然估计量，且.

引理2 设和是分别来自两独立总体和，样本容量为n的前r个次序统计量，若两总体的平均寿命比率为，则R的无偏估计量为.

定理1 在无替换定数截尾寿命试验中，如果和是来自两独立总体和，样本容量为n的前 r个次序统计量，那么的分布函数的Edgeworth展开式为：

证明：由引理1可知，故可写为2r个独立同分布的标准正态分布变量的平方和，即.

若记，则利用中心极限定理可得

由引理2，.

由引理1易知，当 ，故可写为

，从而.

又因为，所以.

根据定义1，分布函数的Edgeworth展开式为：

令，由（2）、（3）、（4）可得. 经整理，

定理2;指数分布平均寿命比率R的置信水平为的置信区间为

（6）

其中：

，为标准正态分布的a分位数.

证：由定义2可知，的分位点的Cornish-Fisher展开式为

可得

因为，所以指数分布平均寿命比率R置信水平为的置信区间为

本文利用Edgeworth展开方法，给出在定数截尾寿命试验中基于指数分布的两总体平均寿命比率 枢轴量的分布函数，同时利用Cornish-Fisher展开方法得到了 置信区间的一般形式。该形式精确到展开式的三阶项，包含更多分布信息。相比较文献[8]列出的简单形式和文献[3]提供的二阶展开式，我们给出的置信区间更加精确，区间长度也更小，不仅适应于大样本数据，小样本的情况也同样令人满意。

参考文献：

[1]史建红，林红梅.两个独立服从双参数指数分布产品平均寿命比率的统计推断（英文）[J].应用概率统计，2013，29（01）：87—96.

[2]李建波，张日权.双参数指数分布参数比率统计推断的研究[J].应用概率统计，2010， 26（01）： 81—88.

[3]袁守成.双参数指数分布平均寿命比率的区间估计[J].统计与决策，2017（11）： 14—16.

[4]仲雪荣，傅珏生.统计量 分布的Edgeworth展开式[J].苏州大学学报（自然科学版）， 2010，26（02）：23—26.

[5]金华.U-统计量的Edgeworth展开及其随机加权逼近[J].华南师范大学学报（自然科学版），2002（04）：21—24.

[6]陈明华，任哲. L-统计量的Edgeworth展开和随机加权逼近[J].工科数学，1999（02）： 7—16.

[7]Hall P.The Bootstrap and Edgeworth Expansion[M].New York：Springer，1992.

[8]李建波，张日权.单参数指数分布参数比率统计推断的研究[J].应用数学学报，2011， 34（05）：769-777.