整式乘法与图形面积

肖智敏

整式乘法与图形面积之间有很强的关联性——面积的表示必然出现二次式，而简单的整式乘法恰是两个一次式的积。因此当出现二次式的运算时，我们经常通过图形对其解读，进而达到事半功倍的效果。下面通过几个公式说明两者之间的关系。

一、教材知识回顾

1.单项式乘多项式——乘法分配律。

我们都知道乘法分配律公式为a（b+c）=ab+ac，但对于这个等式是如何生成的，大部分同学却不知道。下面用图形面积的不同表示方法来说明。

如图1，长方形ABCD中，EF将其分成两个小的长方形，AB=a，AE=b，ED=c。试用两种方法表示长方形ABCD的面积。

从整体看，S长方形ABCD=a（b+c），从部分看，S长方形ABCD=ab+ac，因此a（b+c）=ab+ac。

2.多项式乘多项式。

由于已经有了生成单项式乘多项式公式的经验，探寻多项式乘多项式的变形规律，只要类比即可。

先构造如图2所示的长方形，EF、GH将其分成四个小长方形。用两种不同方法表示其面积。

从整體看S长方形ABCD=（a+b）（m+n），从从上面我们可以看出：借助图形既可以进行整式乘法运算，也可对运算结果进行验证，甚至可以逆向运算，进行二次三项式的因式分解。

二、类比应用

1.通过面积的表示，探究完全平方式的变形规律并应用。

问题1：如图3是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成4块小长方形，然后用4块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图4）。

（1）图4中的阴影部分的面积为;

（2）观察图4，（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系是=5，xy=4，则x-y=。9;（3）根据（2）中的结论，若x+y

2.通过面积的表示，探究二次三项式的因式分解，并理解多项式乘法与因式分解的关系。

问题2：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图5中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式。比如，图6可以解释（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2。

（1）图7可以解释为等式：;

（2）用图5中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为2a2+3ab+b2，请画出示意图，同时在图中标出这个长方形的长和宽，并将多项式2a2+3ab+b2因式分解。

3.通过合理分割长方形，探究多项式乘法与二次三项式的因式分解，进一步领会数形结合思想。

问题3：【活动材料】有若干如图5所示的长方形和正方形硬纸片。

【活动要求】用若干块以上硬纸片拼成一个新长方形（或正方形），通过不同的方法计算面积，探索相应的等式。

（1）小明在活动时想拼出一个两边长分别为（a+3b）、（a+b）的长方形，则他需要乙型纸片张，丙型纸片张;（2）试借助拼图的方法，把二次三项式6a2+7ab+2b2分解因式（要求画出图形，并分解因式）;（3）小颖在活动时，共制作了20张硬纸片（每种硬纸片至少一张），用这20张硬纸片能否拼成一个新正方形？

4.通过拼图尝试，开拓思维，进一步提升对知识的理解。

问题4：活动材料、要求与问题3的相同。

（1）请选择适当形状和数量的硬纸片，拼出面积为2b2+3ab+a2的长方形，画出拼法示意图;（2）从这三种硬纸片中选择一些拼出面积为12ab的不同形状的长方形，则这些长方形的周长共有种不同情况;（3）现有甲型纸片1张，乙型纸片4张，则应至少取丙型纸片张才能用它们拼成一个新的正方形;（4）取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+nab+24b2，则n可能的整数值有个。

（作者单位：江苏省宿迁市钟吾国际学校）