“同心协力”策略研究

王宦

【摘 要】本文对同心鼓的颠球模式及发力情况进行了分析，建立多个参数模型对颠球策略进行了优化，并基于接球瞬间拉平鼓面对原有策略进行了修改，最终应用在现实情形中的“同心协力”项目。对问题一，首先利用绳子的长度L和初始的角度α进行标量乘积变换，得出同心鼓在拉力的作用下上升的高度区域。再通过球从鼓面中心上方落下的高度与同心鼓上升的高度进行差值化，确定了鼓面已经上升时与球重力做功时的距离范围，初步算得h的值域。再建立一个参数模型，假设在完全弹性碰撞时，利用能量守恒定律和动量守恒定律使得刚接触到鼓面的排球速度V1和鼓被拉动的速度V2“相交换”，将颠球高度的范围模型化，终值范围大于40cm。对问题二，首先根据已知参数信息，对表1的9组数据进行分析。表1中存在队员发力不均衡或发力时间延迟的情况，此时使拉力使得鼓面倾斜，鼓在运动过程中具备一个特定的角速度。同时，根据刚体的轴转动原理，较大拉力一方所具备的角速度大于与之相对的方向的拉力一方的角速度。将8个组员的拉力分解为垂直向上的力和处于平面上的力，再把合力结合刚体的轴转动公式求出鼓的角加速度，根据积分原理求出0.1s时的倾斜角度。

【关键词】微元;刚体;动量守恒定律;类平抛运动;光的反射

一、问题分析

问题一要求我们研究“同心协力”项目的最佳策略，并给出该策略下的首先需要确定已经上升的鼓面与球重力做功之间的数学关系。考虑使用绳子的长度L和初始的倾斜角度α进行标量乘积变换，确定同心鼓的上升高度范围。再进行整体的参数模型建模，基于完全弹性碰撞的假设下，根据能量守恒定律和动量守恒定律来建立颠球高度模型。考虑到待优化参数较多，可对参数迭代优化，得到值域。

问题二要求我们结合给定的队员发力情况的参数，给出0.1s时鼓面的倾斜角度。由于在现实情形中，队员发力时机和力度不可能做到精确控制，鼓面无法一直保持水平。因此，队员的发力情况和鼓面的倾斜角度密切相关，就会出现表1所给出的各种鼓面倾斜情况。在建立模型时，只有对每组组员的发力时机和用力大小进行综合分析，才能保证结果的准确性。首先，要对力进行抵消和分解的模拟，问题的重点在于如何确定力的方向。其次，还需从物质运动过程的角度考虑，分析鼓倾斜的时机，对力进行组合，选择刚体的轴转动公式演算出鼓倾斜角速度的加速度，作为得出鼓的倾斜角度的前提。

二、模型建立与求解

（一）问题一模型的求解

在理想状态下，每个人可以精确控制用力方向、时机和力度，因此可以将力度看成一个关于角度的函数，使向上的力为恒力。此时，鼓进行匀加速直线运动，而排球只受重力，进行自由落体运动。根据动量守恒定理，球重力做功至鼓面的瞬时速度和鼓面与球接触时的瞬时速度进行交换。基于完全弹性碰撞的假设，排球落下时只受重力做功，颠起来时也只需克服重力做功，因此排球的速度应当和鼓的速度是一对方向相反，大小相同的量。

动量守恒定律：一个系统不受外力或所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律。

问题一给定的条件是在理想状态下，因此我们可以看成一个子母球模型。

能量守恒定律：在只有保守力做功的情况下，系统能量表现为机械能，动能和势能的能量守恒具体表达为机械能守恒定律。

由于排球落至鼓面和鼓面上升接触排球的初速度均为0，所以只考虑末速度的情况。排球在弹起的过程中只需要克服重力做功，而排球的下落距离与颠球高度又相等。因此排球的末速度和鼓的末速度是一对大小相等，方向相反的量。此时两个公式聯立，就可以得到排球的末速度。

可以得出球实际下落的高度是（40-Lsinα）cm

将其代入公式中：

我们最后可以得出力在竖直方向上的分量为1.95N，在绳水平面的夹角的大小为1.7°且绳长为1.9m时，人使用的力为82.81N。

（二）问题二模型的建立

在问题2中，我们采取建立二维坐标系的方法。通过将鼓看成是刚体，利用刚体的转轴模型进行运算。指的是在大家同时抬起鼓的瞬间还未发力，延迟了0.1s后才开始发力，即0.1s时的力为0。

我们将单独一个方向的力进行十字拆分。那么可以得出8个向上的分力，再将向上的力进行组合，合并为向上拉力。同时在水平方向上的6个力相互抵消，只剩下①和⑤的平面分力，两者进行差值化运算即可得出水平方向上的合力，通过求出力的矢量和，得到一个合力。

将竖直方向的面单独取出，建立一个直角坐标系，求出其夹角。同时因为刚体的转轴定理，支点就在将力反向延长后离反向延长线的矩形的角上，通过做垂线段，在坐标系上利用点到直线的距离公式，求得力矩。再通过刚体的转轴公式求得相应的角加速度，而角加速度是角速度与时间的积分之商，因此角速度的值即可知道，之后通过角速度和时间的乘积的积分即可求出相应的偏转角度。

排球落下的时间为0.2 。

在进行力的分配，因为比例是1;2

所以两位同学根据自己所在的角度分别减少使用13N和26N即可。