追本溯源 不忘其根

仇玉海

分式方程有解与无解都与增根有着密切的联系。有解是指整式方程有解且这个解不是增根。无解分两种类型：（1）整式方程有解，且这个解是增根;（2）整式方程无解。鉴于此，下面老师以几道中考试题为例与大家一起分析，构建解题思路。

一、由分式方程增根求字母的值

【评析】要理解分式方程增根产生的原因。增根是分式方程化为整式方程后产生的不适合分式方程的根。我们可以先确定增根的值，让最简公分母x-2=0，得到x=2，然后代入整式方程算出m的值。所以增根问题可按如下步骤进行：1让最简公分母为0，确定增根;2化分式方程为整式方程;3把增根代入整式方程，即可求得相关字母参数的值。

二、由分式方程“有解”求字母参数的取值范围

【评析】“分式方程的解是正数”包含三层含义：1整式方程有解;2这个解不是增根;3这个解是正数。这种情形与增根还是密切关联的。我们求出增根x=2，解出整式方程的解x=5-a，满足5-a=?2且5-a>0，所以a<5且a=?3。

变式（2019·黑龙江齐齐哈尔）关于2x-a1x的分式方程x-1-1-x=3的解为非负数，则a的取值范围为。解：方程两边同乘x-1，得2x-a+1=3·（x-1），解得x=4-a，

【评析】分式方程的解是非负数可以理

解为：1整式方程有解;2这个解不是增根;3这个解是非负数。只要涉及分式方程的解总绕不开增根。要保证整式方程的解，不能为增根，需要先把这种导致分式方程无解的情况排除，然后才能考虑这个解是非负数，从而确定字母参数的范围。

三、由分式方程“无解”求字母参数的取值范围

【评析】把分式方程转化为整式方程，发现整式方程一定有解，但分式方程无解，说明整式方程的解是增根，所以k+4=2，故k=4。

【评析】关于x的整式方程ax=b（a、b为常数，b=?0），它的解可能存在两种情况：1当a=0时，方程无解;2当a=?0时，方程一定有解。本题中的整式方程未知数的系数是1+a，所以需要对它进行分类討论，分为整式方程无解或整式方程有解且解为增根两种情形。

数学家华罗庚说过：面对复杂的问题，善于退，足够地退，退到最原始而又不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。有些同学对于分式方程的增根和无解似懂非懂，认为只是一个概念，这样的想法是错误的。要想彻底弄明白这一类问题，我们需要回到最初增根产生的那一步，理解分式方程与整式方程的关系，无论是在解答有解问题还是无解问题时，都不能忘记考虑增根，要追本溯源，不忘其根。

（作者单位：江苏省盐城市初级中学）