一种二元矩阵值Padé型逼近的递推算法
2020-09-03王冬银开小山陶有田
王冬银, 开小山, 陶有田
(1.巢湖学院 数学与统计学院,安徽 巢湖 238000; 2.合肥工业大学 数学学院,安徽 合肥 230601; 3.巢湖学院 工商管理学院,安徽 巢湖 238000)
设f(x,y)为关于x,y的矩阵值形式幂级数
f(x,y)的二元矩阵值Padé型逼近(bivariate matrix-valued Padé type approximation, BMPTA)有着比较长期的研究历史,并在很多领域都有应用[1-4]。很多学者给出了许多有价值的研究结果[5-9]。文献[5]定义了一种内积空间上的BMPTA,并给出2个递推算法:E-算法和Sylvester型算法;但是这2个算法的计算量都比较大。
本文研究一种更加简洁的计算BMPTA的算法。文献[10]定义了一种二元齐次数量值多项式(bivariate homogeneous orthogonal polynomials, BHOP)。在此基础上,本文定义二元张量积形式正交多项式(bivariate tensor product formal orthogonal polynomials, BTPFOP),并将其推广到矩阵值情形,得到矩阵值二元张量积形式正交多项式(bivariate matrix tensor product formal orthogonal polynomials, BMTPFOP)。为计算其系数,本文给出三项及九项递推公式，通过这2个公式得到计算BMPTA的递推算法。最后,通过一个数值例子,验证了该算法的有效性。
1 二元数量值形式正交多项式
本节定义基于BHOP的BTPFOP,并研究其递推算法。
1.1 一元张量积正交多项式
设P是一个二元实多项式集,Pmn∈P。
定义1(BHOP)[10]若存在非零泛函σ,使得:
〈σ,PmnPkl〉=0,m+n≠k+l
(1)
则称{Pmn}为齐次弱正交多项式族。若
〈σ,PmnPkl〉=Kmnδmkδnl,
其中
则称{Pmn}为齐次正交多项式族。(1)式可写为：
〈σ,PmnPkl〉=0,k+l≤m+n-1
(2)
设cij是给定的实序列,定义P上的实线性泛函φ如下:
φ(sitj)=cij,i,j=0,1,…,
则φ完全由cij确定。将(2)式中的条件进行调整,并结合泛函φ,可得到下面的定义。
定义2 若一族二元多项式{vkl(s,t)}满足如下条件:
(1)vkl(s,t)关于s和t的最高次数分别为k和l,记为degs(vkl)=k,degt(vkl)=l。
(2)φ(sitjvkl)=0, (i,j)∈{(i,j)|
i=0,1,…,k;j=0,1,…,l}{(k,l)}
(3)
则称vkl为关于泛函φ的BTPFOP。
若vkl和vij((k,l)≠(i,j))是定义2中的形式正交多项式,则有φ(vijvkl)=0成立。
(i′,j′)∈{(i′,j′)|i′=0,1,…,k;
j′=0,1,…,l}{(k,l)}
(4)
记方程组(4)的Hankel-Hankel行列式为:
1.2 二元形式正交多项式的递推公式
定理1若泛函φ有定,则形式正交多项式族{vkl}线性无关。
证明对于k,l≥0,vkl(0,0)≠0,设存在一组常数λ00,…,λ0l,…,λk0,…,λkl,…, 使得:
(5)
在(5)式两端同时作用泛函φ,可得:
λklφ(vklvkl)=0。
又因为φ(vklvkl)≠0,所以对∀k,l≥0,λkl=0。故{vkl}线性无关。
利用一元数量值形式正交多项式的三项递推公式[10],不加证明地给出:当k≥0,l=0和k=0,l≥0时,BTPFOP的三项递推公式。
引理1(BTPFOP的三项递推公式) 形式正交多项式vkl满足的递推关系如下:
k=0,1,…
(6)
初始值v-1,0=0,v00=1;其中
且有：
l=0,1,…
(7)
初始值v0,-1=0,v00=1;其中
对于一般的k,l≥0,可以得到下面的BTPFOP的九项递推公式。
定理2 形式正交多项式vkl满足的递推关系如下:
vk+1,l+1=-Ak+1,l+1vk+1,l-Bk+1,l+1vk+1,l-1-
Ck+1,l+1vk,l+1+(Dk+1,l+1st-Gk+1,l+1vk+1,l-1)vkl-
Jk+1,l+1vk,l-1-Kk+1,l+1vk-1,l+1-
Lk+1,l+1vk-1,l-Sk+1,l+1vk-1,l-1
(8)
初始值v-1,l=0,vk,-1=0;vk0、v0l由引理1计算,其中的系数关系式如下:
证明由定理1知,{vkl}是P的一组基,因此stvkl可以唯一地表示为{vkl}的线性组合:
(9)
在(9)式两端同时乘以vij并作用泛函φ,可得:
当i=k-1,j=l-1时,
当i=k-1,j=l时,
当i=k-1,j=l+1时,
当i=k,j=l-1时,
当i=k,j=l时,
当i=k,j=l+1时,
当i=k+1,j=l-1时,
当i=k+1,j=l时,
当i=k+1,j=l+1时,
若对于首一多项vkl,即对∀k,l≥0,bkl=1,则(8)式中的Dk+1,l+1=1。
2 二元矩阵值形式正交多项式
φ(μ,ν)(sitj)=ck+i,l+j∈Cp×q,i,j,μ,ν≥0
(10)
其中,cij=0,i<0或j<0。
定义3 若多项式族{Vkl(s,t)}满足下面的的条件:
(1) deg(Vkl)=(k,l)。
(2)φ(μ,ν)(sitjVkl)=0,(i,j)∈{(i,j)|
i=0,1,…,k;j=0,1,…,l}{(k,l)}
(11)
则称{Vkl(s,t)}为关于泛函φ(μ,ν)的广义形式正交多项式。
由条件(1),bkl≠0，此时称泛函φ(μ,ν)是有定的。设
(12)
由(11)式,可将(12)式化为一个方程组:
(i′,j′)∈{(i′,j′)|i′=0,1,…,k,
j′=0,1,…,l}{(k,l)}
(13)
其中,系数cμ+i+i′,ν+j+j′是矩阵值。为了计算bij,利用矩阵的直接内积将cμ+i+i′,ν+j+j′转化为数量值。设X=(xij),Y=(yij)∈Cp×q,则矩阵X、Y的直接内积定义为：
将矩阵e∈Cp×q和泛函φ(μ,ν)的直接内积写为〈e,φ(μ,ν)〉,其中,eij=1。记
(14)
定义4 若多项式族{vkl(s,t)}满足下面的条件:
(1) deg(Vkl)=(k,l)。
i=0,1,…,k;j=0,1,…,l}{(k,l)}
(15)
由(15)式，可将Vkl(s,t)化为如下形式：
(i′,j′)∈{(i′,j′)|i′=0,1,…,k;
j′=0,1,…,l}{(k,l)}
(16)
引理2(BMTPFOP的三项递推公式) 形式正交多项式Vkl满足的递推关系为:
k=0,1,…
(17)
初始值V-1,0=0,V00=1。其中
且有：
l=0,1,…
(18)
初始值V0,-1=0,V00=1。其中
与定理2的证明类似,可以得到BMTPFOP的九项递推公式。
定理3(BMTPFOP的九项递推公式)
Vk+1,l+1=-Ak+1,l+1Vk+1,l-Bk+1,l+1Vk+1,l-1-
Ck+1,l+1Vk,l+1+(Dk+1,l+1st-Gk+1,l+1Vk+1,l-1)Vkl-
Jk+1,l+1Vk,l-1-Kk+1,l+1Vk-1,l+1-
Lk+1,l+1Vk-1,l-Sk+1,l+1Vk-1,l-1
(19)
初始值V-1,l=0,Vk,-1=0;Vk0、V0l由引理2计算,其中的系数由以下关系确定:
3 BMPTA的递推算法
设矩阵值函数f(x,y)具有形式幂级数
为了表达方便,下面将文献[5]中BMPTA的定义进行改写。在(10)式和(14)式中,取μ=n1-m1+1,ν=n2-m2+1,则有：
φ(n1-m1+1,n2-m2+1)(sitj)=cn1-m1+1+i,n2-m2+1+j,
〈e,φ(n1-m1+1,n2-m2+1)〉=〈e,cn1-m1+1+i,n2-m2+1+j〉,
其中,cij=0,i<0或j<0。
设Vm1m2(x,y)是形式多项式
(20)
显然有bm1m2≠0。定义二元矩阵值多项式:
Wn1n2(x,y)=φ(n1-m1+1,n2-m2+1){[Vm1m2(x,y)+
Vm1m2(s,t)-Vm1m2(s,y)-Vm1m2(x,t)]/
(s-x)(t-y)}
(21)
其中，泛函φ(n1-m1+1,n2-m2+1)作用在s、t上。设
(22)
(23)
(24)
证明由(21)式得：
Wn1n2(x,y)=
再由(23)式得:
(25)
BMPTA的递推算法步骤如下：
(1) 取初值V-1,0=V0,-1=0,V00=1。
(2) 由(17)式计算Vk0,k=1,2,…,m1。
(3) 由(18)式计算V0l,l=1,2,…,m2。
(4) 取初值Vk,-1=V-1,l=0,k=1,2,…,m1;l=1,2,…,m2。
(5) 由(19)式计算Vkl,k=1,2,…,m1;l=1,2,…,m2。
即
(26)
其中,(i′,j′)∈{(i′,j′)|i′=0,1,…,m1;,j′=0,1,…,m2}{(m1,m2)}。
相比于文献[5]中的E-算法和Sylvester型算法,本文的递推算法更加简洁。
下面通过一个数值实例来说明本文算法的有效性。已知
由(17)式可得:
V10=x-1/2，V01=y-1/2。
于是可计算出以下系数:
进而有：
V11(x,y)=xy-A11V10-C11V01-G11=
因此得:
4 结 论
本文针对一种二元矩阵值Padé型逼近(BMPTA)给出了一个简洁的递推算法。根据二元齐次数量值正交多项式,定义了二元张量积形式正交多项式(BTPFOP)和二元矩阵值张量积形式正交多项式(BMTPFOP),并给出了BMTPFOP的三项递推公式及九项递推公式。基于这2个公式,得到了计算BMPTA的递推算法,并举例说明了该算法的有效性，但并没有给出其误差估计。因此,该方法对于二元矩阵值函数f(x,y)的误差估计有待进一步研究。
