例说中学数学中的周期问题

董晓莉

在现实生活中，存在周而复始、循环往复的现象，这种周而复始的性质我们称之为周期性，具有这样性质的函数叫周期函数。周期性具有简单、和谐、对称等数学美，也蕴含着等价变换和数形结合的重要数学思想方法。因此，我们要十分重视周期问题，充分利用好周期的属性，帮助我们去分析问题和解决问题。下面例说中学数学中的周期问题，期望能够起到抛砖引玉的作用。

一、周期函数的定义、教学及作用

1.周期函数的定义

对于函数f（x），如果存在一个常数T（T=0），使得当自变量x取定义域内的任意一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就是周期函数，非零常数T称作这个函数的周期。对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f（x）的最小正周期。在周期函数的定义中我们要注意两个地方，一是对任意的自变量x，恒等式f（x+T）=f（x）都应该成立;二是并不是所有周期函数都有最小正周期。

2.周期函数的教学

在高中数学教学中，周期的定义是在三角函数这一章中出现的，这主要是因为三角函数是刻画圆周运动的数学模型，“周而复始”的基本特征蕴含在三角函数的性质之中。课本通过探究和观察三角函数的图像，使学生先直观理解，再抽象掌握周期性及周期的定义，然后学会简单的三角函数的周期求法，因此，教材的安排就显得合情合理了。在此基础上，为今后利用周期性去解决一些实际问题创造了必要条件。

3.周期函数的作用

從周期的定义可以看出，周期函数最大的特点就是函数值f（x+T）和函数值f（x）是相等的，所以其最大的作用之一是在求一个函数值遇到困难时，可以转化为求另一个函数值。另一方面，根据周而复始、循环往复的现象，可以利用数形结合的方法去思考问题。也就是说，我们要从周期的代数意义和几何意义两个方面去考虑解决问题。

二、怎样确定函数的周期

1.代换法

总之，周期是函数的一个重要属性，而学生对它的认知往往是简单肤浅的，这个问题在教学中一定要引起教师的高度重视，要想方设法拓展学生对周期内涵和外延的认知程度，特别是它蕴含的等价变换和数形结合的重要数学思想方法，应该让学生去亲身体验和感受，这对提高学生的数学核心素养大有裨益。