排列组合中的双重不相邻问题解决策略

王志武

“不相邻问题”高中数学（排列组合部分）非常典型的一类题，其专用方法是“插空法”，这种方法解决此类问题的确独特.比如：

例1：甲乙丙丁4人并排站成一行，其中甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是

解析：插空法，分两步进行：

第一步：先排丙丁，有 种方法;出现3个空，如图

第二步：从3 个空中，选取两个，插入甲乙，有 种插法.

由分步乘法计数原理得，不同的排法共 种.

笔者在教学过程中，发现许多此类“不相邻”问题的延申问题，暂且称为“双重不相邻问题”，其解决方法的本质仍是“插空法”.

例2：某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）

A.72        B.120         C.144          D.168

解析：插空法

A. 第一步：先排3个歌舞类节目，有 种方法;出现4个空，如图

B. 第二步;其余节目，采用插空策略.因为中间两个空必须插入两个节目，再分类

① 如果中间两空插入1个小品，1个相声;再从剩余的2个空中选1个，插入另外1个小品.有  种方法.

② 如果中间两空插入2个小品，与3个歌舞类节目排好后，会出现6个空，再从6个空中选1个，插入1个相声.共 种方法.

由分步乘法计数原理，共 种方法.

解题思路大体和例1，差不多.再看一个例题

例3：毕业晚会有3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目，要求2个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有2个节目连排，则不同的演出顺序有几种？

解析：第一步：先从3个音乐节目中任取2个，采用“捆绑法”作为1个大节目，共有 种方法.这样，可以看成共有5个节目，其中2个音乐节目不相邻，2个舞蹈节目不相邻，这样就可以转化为类似于例2的情境.

第二步：可以根据曲艺节目所在位置，分类讨论：

①曲艺   音1      舞1      音2       舞2

曲艺节目在第1或第5位置时，其余4个位置，音乐和舞蹈节目只能是间隔排列（如图），这种情况下，共有 种方法.

②    音1      曲艺     舞1       音2          舞2

曲艺节目在第2或第4位置时，其余4个位置，音乐和舞蹈节目也只能是间隔排列（如图），同第一种情况，也是16种方法.

③   音1    舞1      曲艺      音2       舞2

音1    舞1      曲藝      舞2       音2

曲艺节目在第3位置时，其余4个位置，音乐和舞蹈节目也只能是间隔排列，有两种情况，如上图，共 种方法.

由分步乘法计数原理得，共有 种方法.

通过以上几个例子，我们可以发现，任何一道看似比较难的题，我们仍可以归结到最基本的原理去解决.由此看出，打好基础，对学习是多么的重要！