聚焦核心素养的单元教学设计①——以高中“平面向量的运算”单元为例

刘春艳

(北京教育学院 100120)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称“课程标准”)实施建议中提到教师“不仅关注每一节的教学目标，更要关注主题、单元的教学目标，明晰这些目标对实现数学学科核心素养发展的贡献”. 课程标准还提出要“整体把握教学内容，促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展”. 相比课时教学设计，单元教学设计可以使教师有更充足的时间和空间根据实际情况调整教学的节奏，因此，单元教学设计在中小学教学中受到广泛重视.

在数学课堂教学中，单元教学设计中的“单元”大多以数学学科框架体系内的学习内容来组织. 在单元教学的具体操作过程中，“单元”的范围不局限于教材中的“单元”，常见的“单元”类型有：以数学知识为主线的单元；以数学思想方法为主线的单元；以数学基本能力为主线的单元；以数学学科核心素养为主线的单元等多种形式. 第一种类型一般用于新授课，实际教学中比较常见，本文所述的实际操作建议即以此类型为主.

对于单元教学设计的具体实施过程，钟启泉教授提出单元设计一般遵循“ADDIE”模型[1]，即分析Analysis、设计Design、开发Development、实施Implement和评价Evaluation. 吕世虎教授等将单元教学设计的整个过程细化为6个实施步骤[2]：确定单元内容；分析教学要素；编制教学目标；设计教学流程；实施教学；评价反思及改进. 人教高中数学A版教参(2017版)中给出的单元教学设计样例包括内容和内容解析、目标和目标解析、教学问题诊断分析、教学支持条件分析和教学过程设计五个主要环节. 从中可以看出，无论是哪个模式或者步骤，都是为了更好地解决“教什么，怎么教，教得怎么样”这三个教学中的基本问题. 单元教学设计的特点主要体现在：(1)设计框架涵盖教学基本要素，体现单元教学设计的整体性；(2)将“分析”贯穿设计始终，注重教学设计有理有据；(3)强调从“单元”到“课时”的过程，保障教学设计的层次性和有序性.

对于教师而言，单元教学设计形成了一个闭路，利于整体上把握单元教学的全过程. 但是在具体实施的过程中，教师往往存在很多困惑与问题：对单元教学内容从哪些角度进行分析？学情分析关键点是什么？单元教学目标重点分析什么？在教学过程设计过程中，如何体现单元的整体性、层次性和有序性？等等.本文以“平面向量的运算”单元为例，与老师们探讨如何进行一个真实的单元教学设计.

1 单元教学内容分析的主线，是明确其学科地位，提升其学科核心素养

对于平面向量，按照课程标准要求包括向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、向量应用. 从新授课的角度，结合课程标准对于平面向量内容和课时的要求，选择以“向量运算”作为一个单元的主题，属于“单元”类型的第一种情况. 本单元主要内容包括平面向量的加减运算、数乘运算和数量积，以及它们的运算规则、运算性质及其几何意义等．

对于单元教学内容分析，要以“四基”为基础，以明确学科核心素养为指向．具体分析时，可以先利用结构图等形式进行梳理，说明单元内容的知识结构，然后从知识的学科本质和上下位关系、蕴含的思想方法等方面具体分析；以此为基础，说明本单元在本学段或者中学数学体系中，甚至数学体系中的地位和作用，并进一步明确本单元的学习在提升能力和发展学科核心素养的具体作用.

平面向量的运算单元的结构图如下：

1.1 本单元的知识内容

(1)学科本质[4]

本单元是以平面向量为研究对象，对其从运算的角度开展研究．由于向量既是代数研究对象也是几何研究对象，向量的运算自然有代数和几何两种意义，因此，向量的运算也要从代数、几何两个角度进行研究．

从代数的角度，向量的运算遵循一般的运算研究脉络，按照“背景——定义——法则——性质——应用”的顺序建立相应的运算体系.

从几何的角度，位置是空间最为基本原始的概念，向量理所当然地是空间最为基本原始的几何量，这使得向量的运算都具有几何意义，向量运算的运算律也具有丰富的几何内涵.如向量的加法用几何语言描述就是“三角形法则”或“平行四边形法则”．向量加法的交换律是平行四边形定理的向量表述形式．数乘运算的分配律是相似三角形定理的代数形式．数量积的分配律也是勾股定理代数化的一种表达形式等等．

同时，由于向量理论具有丰富的物理背景，向量的概念源自物理学，因此向量的运算也有明确的物理背景，如物理中的功是平面向量数量积的背景．

(2)知识的上下位关系

本单元之前，学生已经学习了关于数、式、集合、函数等对象的运算．本单元是将运算对象进一步扩展到向量，因此向量的运算是一类特殊的运算．

在数学中，从运算的共性来看，运算是一种映射，是两个元到第三个确定元的一种特殊关系． 用集合的语言可叙述为：设有集合A，B，C，把一个从A×B→C的映射叫做A×B到C的一个代数运算或二元运算．特别地，若A=B=C，此映射称为A上的一个二元运算．由此可见，向量的加减法运算是向量集合上的一个二元运算；向量的数乘运算是实数集合与向量集合对应到向量集合的映射；向量的数量积也就是两个向量集合对应到实数集合的映射．

1.2 本单元蕴含的思想方法

首先，向量集数形于一身，向量的运算也具有明显的几何意义，因此向量的运算中蕴含着数形结合的思想方法．其次，根据学生的认知基础和特点，类比数的运算研究向量的运算的研究方法贯穿本单元全过程，如类比数的减法，定义向量的减法．因此本单元学习过程中数形结合、类比是最主要的思想方法．

1.3 本单元的学科地位和作用

向量的运算不仅扩充了运算对象，体现运算的形式在不断发展，而且为后续向量的学习(包括平面向量基本定理、空间向量等)、在现实生活和物理中的应用，在平面几何、解析几何、三角函数等数学内部的广泛应用奠定了基础．

向量运算体系的建立也进一步体现了数学内部，如代数、几何、三角函数等知识之间的内在联系．从向量运算的角度来看，向量具有较好的代数结构：向量及其加法运算、数乘运算构成向量空间，这也为学习高等数学中线性代数奠定基础．

1.4 本单元重点提升的学科素养

本单元最主要的内容是向量运算的法则、性质及其几何意义．“运算法则是运算的基础，是推理的基础，也是运算结果具有唯一性的保障．在运用运算解决问题的过程中，运算法则可以帮助我们探索运算思路．”[3]理解向量运算法则的过程也是培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力的过程，同时，向量运算中蕴含的几何意义和代数意义，是沟通几何与代数的桥梁，帮助学生感受到几何直观与代数运算之间的融合，加强对数学整体性的理解，因此向量运算是提升数学运算、逻辑推理、直观想象等学科核心素养的良好载体．

2 学情分析的关键，是找出学生已有认知与学习需要之间的差距

对于学生学习情况分析，一方面要分析学生已有的认知基础；另一方面要结合本单元内容，分析学习者需要具备的认知基础和经验，两者之间的差距，也就是学生学习本单元内容时可能遇到的困难．

由前面的分析，向量的运算需要从物理、几何、代数三个角度进行理解，对于学生情况我们也从这三个角度对于已有的认知基础和可能遇到的困难进行分析．

2.1 学生的认知基础

(1)从物理角度，学生已经学习了位移、力、功等相关物理量． 在具体问题中，学生能够用有向线段画出位移的合成、力的分解，能计算功的大小，并且在图中能准确找到两个向量(力与位移)的夹角．

(2)从代数角度，学生已经学习了数、式、集合、函数等运算，也体会到运算是代数研究的重要内容．尤其对实数运算的研究过程，学生比较完整的经历了从运算对象到运算法则、运算律，直至运算应用的研究过程，初步积累了建立运算体系的经验．

(3)从几何角度，学生已经系统学习了平面几何，具备相应的知识基础以及一定的关于几何图形研究的经验．另外，学生已具备了一定的观察问题、分析问题的能力，具备能从简单的实际背景中抽象出数学概念的能力，这些都是学生学习本单元的良好基础．

2.2 学生可能遇到的困难

(1)从物理角度，学生有利用数学知识研究物理问题的经验，如利用三角函数研究物理中的弹簧振子、交变电流等． 在研究向量之前，学生不具备从物理背景引出数学内容的经验，所以从具体的物理实例引出向量运算，学生会存在一定困难．

(2)从代数角度，向量既有大小，也有方向． 我们类比数的运算研究向量的运算，在向量的运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．学生很容易带着实数运算的思维定势来理解向量的运算，出现对向量运算理解不到位，甚至出现“负迁移”，如数量积的结合律(a·b)·c=a·(b·c)等典型错误．

(3)从几何角度，向量加法的定义是用作图语言来刻画的，对直接通过作图定义向量运算这种处理方法，学生也是第一次接触．对于向量的数量积内容，两个向量数量积运算的结果是实数，其几何意义不如线性运算直观． 除此之外，还涉及两个向量夹角、投影和投影向量的概念，研究这些概念的必要性，尤其投影和投影向量的概念让学生感到很陌生，也很抽象．

3 单元教学目标分析的重点，是将目标中“行为动词”具体化、可操作化

教学目标是教学设计的核心，具体的教学过程设计围绕教学目标展开，教学评价也是以教学目标为依据．虽然课程标准对知识单元的内容有明确要求，但是过于抽象和概括，尤其行为动词“理解”和“掌握”等的具体含义，可以借鉴布鲁姆教育目标分类学中的认知目标，从解释、举例、分类、总结、推断、比较、说明等方面分析.同时，考虑学生需要经过什么样的过程、具有什么样的表现可以认为达到相应要求，以及本单元蕴含的思想方法体现在哪些具体环节等.通过深入分析，使教学目标明确、具体、可操作．

单元教学目标分析要与前面所述的单元教学内容分析和单元学情分析相衔接，同时要注意课程标准中的内容要求和教学提示．由于教材的编写要贯彻数学课程的基本理念和要求，因此，教材也是教学目标分析的重要资源．

如：课程标准中对向量的加减法运算的内容要求是：“借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加、减运算及运算规则，理解其几何意义．”对于向量的运算内容，课程标准中的教学提示是：“在平面向量及其应用的教学中，应从力、速度、位移等实际情境入手，从物理、几何、代数三个角度理解向量的概念与运算法则，引导学生运用类比的方法探索实数运算与向量运算的共性与差异.”人教A版教材“向量的加法运算”一节，文本呈现的顺序是：“物理实例——向量的加法、向量加法法则——规定特殊情况——例题——向量的加法与数的加法联系——运算律——例题”．“向量的减法运算”一节，文本呈现的顺序是；“相反向量——向量的减法——减法的几何意义——特殊情况——例题”． 对于向量的加法及运算法则是通过对图形的语义转换得到的，类比数的加法运算律，利用加法的几何意义验证运算律；类比数的减法，通过符号语言定义向量的减法；例习题的设计主要是通过图形语言、符号语言的相互转换，帮助学生理解向量的加减法运算．

因此，对于向量的加减法运算教学目标分析如下：

能借助物理中位移、力的合成和向量的几何表示，定义向量的加法、向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能说明两个法则的一致性；能借助向量加法的几何意义，通过类比数的加法运算律，探究向量加法的运算律；能类比数的减法，定义向量的减法；能通过作图表示两个向量的和或差.

通过向量加减运算的研究过程，体会研究运算对象的一般思路，即“运算概念——运算规则——运算性质”，提升数学运算和逻辑推理的素养，通过向量运算中几何意义的理解与运用，提升直观想象的素养．

4 做到单元教学设计整体有序，必须将单元教学要素逐步分解、细化到课时教学过程

具体的教学过程是以课时为单位进行设计的，首先根据前面的分析设计课时，将单元教学目标和重难点逐步分解到课时，再将课时教学目标细化为课时的主要教学环节，并以围绕核心问题展开问题串的形式设计教学活动． 通过从单元到课时、从整体到局部，有逻辑有顺序有步骤地设计课时教学过程，充分体现了单元教学设计的整体性和有序性，是单元教学目标实现的重要保障．

对于向量的运算，建议用6课时．第一课时：向量的加法；第二课时：向量的减法；第三课时：向量的数乘运算；第四课时：向量的共线与数乘运算的关系；第五课时：向量的数量积和投影；第六课时：向量数量积的运算律及应用．以第一课时“向量的加法”为例．

4.1 将单元教学目标和重难点分解到具体课时

“向量的加法”主要与单元教学目标的第一条有关，课时教学目标为：(1)通过位移、力的合成，定义向量的加法、三角形法则和平行四边形法则；(2)能借助向量的几何表示，作出两个向量的和；(3)通过类比数的加法运算律，猜想向量加法的运算律并利用向量的几何表示验证，体会向量运算与数的运算的区别与联系，提升数学运算的素养．

课时教学重点是向量的加法法则和运算性质；难点是向量加法概念的形成过程，对向量加法法则的理解．

4.2 将课时教学目标细化为教学过程的主要环节

教学环节就是教学目标的细化，是紧密围绕课时教学目标逐步展开的教学过程．“向量的加法”的教学过程设计7个环节，每个环节与课时教学目标的对应关系如下：

4.3 再将教学环节具体化为围绕核心问题展开的师生活动

具体的教学活动应该创设合适的教学情境，提出合适的数学问题，引发学生思考与交流．向量的运算具有丰富的物理背景，因此在教学环节1中创设学生熟悉的物理情境，在第2个教学环节“借助物理背景，定义向量的加法”中，设计如下的系列问题，引导学生思考和讨论.

问题由位移的合成，你认为如何进行两个向量的加法运算？

追问1对于矢量的合成，物理学中还有其他方法吗？

备用问题：如右图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力F1与F2的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗?由此你能给出向量加法的另一种法则吗？

追问2向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？

追问3以上的两个法则是否完整？如不完整，缺少什么？

“你认为如何进行两个向量的加法运算”就是一个核心问题，后续预设的追问不是固定的模式，授课中要根据学生的讨论情况及时调整顺序，甚至增加或者减少追问问题．比如在讨论问题的过程中，学生可能提出“共线向量如何做加法运算”、“零向量如何处理”等问题，此时需要把追问3分解成多个小问题，并调整顺序．围绕核心问题展开的系列问题的灵活处理，都是为了达到预期的教学目标1．

教学环节要设计具有一定的开放性、引导性的核心问题，聚焦基本内容，形成认知冲突，激活学生思维，自然而然地思考“为什么”、“怎么办”、“还有什么”、“有什么意义”、“具体是什么”等问题，通过问题解决的过程理解基本内容．通过围绕核心问题展开的、体现数学内在逻辑的、有层次性的一组问题，引导学生用数学的眼光观察问题、发现问题，用数学的方法和经验思考问题、用数学的语言表达问题，进而达成预期的教学目标．

围绕核心问题展开的某一教学环节与相应教学目标的关系如下图：

4.4 通过单元引言和单元小结凸显单元设计的整体性

对于课时教学设计，引入和小结是两个重要的环节．对于单元教学设计，第一课时的引入和最后一课时的小结更要考虑立足“单元”进行整体设计，也就是要成为“单元引入”和“单元小结”．

(1)单元引入

课时教学设计的第一个环节常常要考虑创设情境引入主题，单元教学设计也需要通过单元引入创设整个单元的教学情境，引入单元教学主题．本单元的引入可以借用人教A版必修第二册6.2“平面向量的运算”中的节引言：

“我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷．那么向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算．本节我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用．”

这段引言通过比较开放和具体统摄性的问题，帮助学生站在数学知识的整体高度认识问题、思考问题． 帮助学生明确：引进一个量，就要研究它的运算；引进一种运算，就要研究它的运算性质；向量的运算是以物理实例为背景，以数的运算为类比对象展开研究的.单元引言要帮助学习体会本单元要研究什么、为什么研究、以及如何研究等基本问题，这些基本问题既要成为贯穿本单元教学始终的一条主线，也要为学生提供一个有力的知识、方法的认知固着点．

(2)单元小结

最后一课时的小结要概括性的总结提炼本单元的学习内容，以“如何研究向量运算？每种向量运算的共性与个性是什么？”作为核心问题，根据学生实际情况，可以预设如下的系列问题：

问题1：本单元学习了向量的哪些运算？请举例说明．

问题2：对于向量的每一种运算，研究了哪些内容？

问题3: 对于向量的每一种运算，研究的方法是什么？

问题4: 向量的各种运算，具有什么共性和个性？

问题5: 向量的运算与实数的运算之间，有什么共性与差异？

通过围绕核心问题的系列问题进行总结，以提纲的形式帮助学生梳理本单元学习的主要内容，形成本单元的知识结构，明确数学思想方法在研究问题中的具体作用，帮助学生明确应该落实的“四基”．通过对向量运算研究路径的梳理，帮助学生进一步明确研究数学运算对象的基本思路，把“获取知识当作方法而不是最终目的”[5]，借此为提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力做好示范，进而发展学生数学运算和逻辑推理等素养．