初中数学“二元一次方程组”的教学实践与思考

王春华

(江苏省启东市大江中学 226200)

一、二元一次方程组的常见解法

1.消元法及其应用

消元法是求解二元一次方程组中比较常用的一种求解方法，主要适用于同一未知数的系数相等或相反时，将两个方程通过相加或相减的方式消除掉该未知数，以此就可以通过“消元”处理的方式得到一个一元一次方程.归结起来，消元法的应用主要包括如下几个步骤：其一，对二元一次方程组中的两个方程进行仔细地观察，看是否两个方程某一未知数的系数保持相等或相反；其二，如果存在上述情况，那么可以采取相加或相减的方式对两个方程进行处理，以此可以获得一个一元一次方程；其三，通过求解“消元”后的一元一次方程，求解出一个未知数；其四，将求解出的未知数代入原方程组中，求解出另一个未知数.

解析通过观察该方程组，发现未知数y的系数互为相反数，所以可以通过①+②消除y，之后可以列出只包含x的一元一次方程，即：(2x+5y)+(3x-5y)=9+6，求解可得x=3，之后将其代入式①或式②，可求得y=0.6.如此一来，就可以求出最终答案.

除了消元法之外，还有一种类似的求解方法，那么就是消常数项法，即在求解二元一次方程组的时候两个方程的常数项保持一致，此时可以直接将常数项消除掉，之后可以依照系数相反或相同的特殊情况，将系数消除掉.然后可以将方程中的某个未知数用另一个未知参数进行替代后代入方程组中进行求解.

解析通过观察方程组，发现①和②式中的常数项保持一致，此时可以通过做差的方式求得x和y之间的关系式，然后可以通过加减消元或代入消元的方式进行求解.比如，通过式①-式②，可得y=3x/5，之后将其代入式①可得x=5,y=3.

2.换元法及其应用

换元法主要是首先假定一个未知参数，以其对二元一次方程组中的两个未知数的值进行表示，这样就可以将待求解的方程组相应地转换成一元一次方程组进行求解.在应用换元法求解二元一次方程组时，主要步骤如下：其一，对二元一次方程组进行仔细地观察，首先假定一个恰当的未知参数；其二，用假定的未知参数对二元一次方程组中的两个未知数(x和y)进行分别表达；其三，将用假定未知参数表达的x与y分别代入二元一次方程组中进行求解，这样最终就可以得出待求的未知参数x与y.

3.对称法及其应用

对称法主要适用于那些二元一次方程组中两个方程中的形式保持对称的问题求解中，即将其中某一个方程组中的x，y两个未知参数进行对换后可以得到另一个方程，或者说这两个方程处于等价状态.基于该种方程的对称性特性，可以直接令x=y，之后代入求解即可.

解析由于该方程组中①与②两个方程中的x与y保持对称状态，所以可以直接利用对称法进行求解，令x=y，代入式①可得x=y=22.5.

二、二元一次方程组在应用题求解中的应用

在应用题求解中，二元一次方程组比较常见，具体的求解步骤如下：(1)认真审题.搞清楚题目中涉及到的数量关系，用x和y对未知数进行表达；(2)找出应用题中有关x和y两个未知数的全部等量关系；(3)基于两个未知数的等量关系，列出相应的二元一次方程组；(4)求解二元一次方程组；(5)对其答案的合理性进行检验.

例5现在有大小两种运货卡车，3辆小卡车和2辆

大卡车每次可以运送15.50t货物，6辆小卡车和5辆大卡车每次可以运送35t货物.试求5辆小卡车和3辆大卡车每次可以运送多少吨货物.

解析针对该道应用题的求解，主要是要确定出每辆小卡车和大卡车每次运送货物的吨数，所以可以分别将其假设为x和y，之后根据题目内容可以得到有关这两个未知参数的等量关系：(1)3x+2y=15.5；(2)6x+5y=35.通过联立这两个方程，求解即可得出x=2.5，y=4，所以可以求得5辆小卡车和3辆大卡车每次可以运送为5×2.5+3×4=24.5t.

总之，二元一次方程组是初中数学教学的重点，也是中考数学考试的热点内容.为了帮助学生顺利地突破这部分学习重点，教师要重点将消元法、换元法与对称法等常用的二元一次方程组求解方法传授给学生，并要结合具体的应用题帮助学生理解与掌握二元一次方程组的应用步骤，力求不断提升学习效果.