初中方程思想求几何面积

（重庆市育才中学校，重庆 404100）

间接法（设未知数列方程组）：对于三角形、四边形中出现比例的时候，由这些线段组成图形的面积，通常可以设未知数列方程组求解。根据需要可以分成设一个未知数列一元一次方程，也可以设多个未知数列方程组，同时除了结合性质之外，还可以通过添加辅助线来达到构建方程组的目的。接下来，我将结合具体例子来分享：

例1.（结合性质，设一个未知数解决，不添加辅助线）如图，若正方形APHM，BNHP，CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_____.

解：

例2.（添加辅助线，结合比例关系，设两个未知数解决）如图△ABC 内三个三角形的面积分别为5，8，10，求四边形AEFD 的面积.

解：

例3.（添加辅助线，设两个未知数，列方程组解决）如图，△ABC 的面积为1，D，E 为AC 的三等分点，F，G 为CB 的三等分点.（1）求四边形PECF的面积；（2）求四边形PFGN 的面积.

解：

例3 变式.（添加辅助线，开放性探究问题）知识回顾：小明在学习完三角形中线的知识后,对三角形中线与面积关系产生了浓厚的兴趣,如图（1）,在三角形ABC 中,若点D 是BC 的中点，他知道S △ABD=S △ACD，如图(2)，三角形ABC 中，若BD=13BC，则S △ABD=___S △ACD.(你知道吗?请你填一填.)

探索研究：

有了这样的知识,小明又进行了深入探究,如图(3),三角形ABC 内线段BD、CE 相交于点O.已知OB=OD,OC=2OE.设△BOE、△BOC、△COD 和四边形AEOD 的面积分别为S1,S2,S3,S4 小明很快得出了S1：S3 的值,相信你也知道答案了吧,请你填一填：S1：S3=___.

如果S2=2,如何求S4 的值呢?小明想：要求的S4 是四边形的面积,直接求有点困难,而我现在所知道的都是三角形之间的面积关系,于是他就想到了连接AO,将四边形分成了两个三角形,然后分别设S △AEO=x,S △ADO=y,从而根据相互间的面积关系建立二元一次方程组进行求解,聪明的你会了吗?请你将解答过程写下来,求出S4 的值。

尝试运用：如图(4),三角形ABC 的面积是1,D、E 为AC 的三等分点,F、G 是BC 的三等分点,则四边形PECF 的面积是___.(直接写答案)

解：∵BD=13BC，∴CD=2BD，设△ABC 的边BC 上的高为h，

∴S △ABD=12BD×h,S △ACD=12CD×h=12×2BD×h=2S △ABD，

∴S △ABD=12S △ACD，

故答案为：12，

探索研究：∵OB=OD，∴S2=S △BOC=S △COD=S3，∵OC=2OE，∴S2=S △BOC=2S △BOE=2S1，

∴S3=2S1，∴S1：S3=1：2，故答案为：1：2；

当S2=2 时,S3=S2=2,S1=12S2=1，∵OB=OD，∴S △AOB=S △AOD，即：x+1=y ①，

∵OC=2OE，∴S △AOC=2S △AOE，即：y+2=2x ②，

联立①②解得,{x=3y=4，∴S4=x+y=7；

尝试运用：

如图,∵D、E 为AC 的三等分点，

∴S △BCE=13S △ABC=13

∵F、G是BC的三等分点,S△ACF=13S△ABC=13，

设S △PCF=x,S △PCE=y.

连接PC，PG，

∵F、G 是BC 的三等分点，

∴S △PBG=S △PGF=S △PCF=x，

∴S △BCE=S △PBG+S △PGF+S △PCF+S △PCE=3x+y=13 ①，

同理：S △ACF=S △PAD+S △PDE+S △PCE+S △PCF=x+3y=13 ②，

∴①+②得,4x+4y=23，

∴x+y=16，

即：四边形PECF 的面积是x+y=16，

故答案为：16.

例4.（结合性质，作多条辅助线，多次设未知数解决）如图，E，F 分别是四边形ABCD 的边AB，BC 的中点，DE 与AF 交于点P，点Q 在线段DE 上，且AQ ∥PC.求梯形APCQ 的面积与平行四边形ABCD 的面积的比值.

总结：方程思想在解决几何问题当中的应用，是通过方程把几何与代数内容有机结合起来，把一个本来需要逆向思考的问题，变得正向思考化，从而大大地降低了解题的难度。不管是设一元列方程还是设多元列方程组，都是为了更好地数形结合起来，给学生解题创造更多的可能，让孩子们感受到数学美好与和谐，感受到数学快乐。