函数思想在高中数学解题中的应用

王 鹏

(江苏省徐州市铜山区郑集镇郑集高级中学 221143)

函数是高中阶段数学知识的一项重要板块，在生活形态中属于量与量之间的变换，能够为其它知识学习提供向导作用.为此，利用函数思想优化学生解题过程，提高解题能力，不仅是实现函数思想渗透的一种关键途径，更是高中数学教学的一大特色与魅力.

一、函数思想相关分析

函数是数学的基本概念，是函数思想发展的基础.因此，教师在应用函数思想辅助解题时，必须充分了解函数有关定义及性质，具体包括周期函数、单调递增/递减函数、奇/偶函数、一次函数、二次函数、指数函数(如图1)、对数函数(如图2)等，在此基础上体会函数思想.

在高中数学中，许多知识中都体现了函数思想，包括方程、不等式、线性规划、随机变量、算法等，可谓是无处不在.在解题教学中，教师要注重分析不同知识与函数之间的关系，寻求函数思想运用的切入点.

二、函数思想在高中数学解题中的运用过程

1.引用函数单调性，求解不等式问题

函数与不等式属于两个性质完全不同的知识结构，在高中数学教学中，它们却有着密切的联系.不等式性质很大程度上反映了函数单调性.因此，在解题教学中，教师可以利用函数思想引导学生用函数的观点审视不等式，更好地把握不等式本质特征.为此，在笔者看来，不等式中最值与恒成立问题是函数思想渗透的切入点.相关例题如下：

例1对任意x∈[-1,1],f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值大于零恒成立，求a的取值范围.

2.引入函数解析式，求解数列问题

高中阶段学习的等比、等差数列本就是一类自变量为正整数的特殊函数，与函数思想有着密切的联系，不同的数列问题中无形中会隐藏着函数的某种特征.利用函数思想求解数列问题也是历年高考中的重点考题.利用函数思想求解数列问题的途径有很多，比如求解等差数列前n项和的最值问题时，可以将Sn看做关于n的二次函数，运用配方法，引入函数单调性知识解决问题.为了从“形”上帮助学生充分认识函数思想与数列知识之间的关系，本节以函数解析式的运用为例，分析相关数列问题的求解.

例2已知a1=1,a2=a3=a4=0,求数列{an}的通项公式.

3.引入函数与方程联系，求解零点问题

函数思想是处理“数学型”问题的一种思维方法，描述的是现实生活中数量之间的变化关系.在问题解决中，从实际情境中建立对应函数模型，运用函数基本知识，实现问题的解决.方程类知识在教学中也孕育了函数思想，它的本质在于研究问题在运动中的等价关系，一般情况下习惯首先明确给出的未知量与已知量之间关系，通过构建方程或方程组，由未知量推导出已知量.虽然两者看起来本质不同，但在实际操作中常常互相渗透，函数间的关系与方程之间可以互相转换.

例3已知函数f(x)=xlnx-ax2-x(a∈R)，讨论函数f(x)的零点情况.

通过审题发现，函数f(x)并不是所熟悉的函数模型，解析式包括对数、幂函数，此时需要首先确定函数定义域x∈(0,+).接下来引导学生对原函数进行变形，变为f(x)=x(lnx-ax-1)(a∈R)，同时用g(x)表示“lnx-ax-1”，二次变形为f(x)=xg(x).因为x≠0，因此对函数f(x)零点的讨论可以转为对函数g(x)零点情况的讨论.解题过程进行到这一步时，引入函数思想中与方程之间的联系，将对g(x)零点的讨论等价转化为讨论方程lnx-ax-1=0的根的情况.但方程仍然不是我们熟悉的方程，此时可以重新从函数角度进行审视，将方程转化为的形式，求解与y=a交点横坐标，从而得出原函数f(x)的零点情况.

综上所述，函数思想在高中解题过程中的运用，不仅展现了函数知识与其它板块知识之间的联系，还为解题提供了新思路，有利于培养学生创新意识，提高解题能力.为此教师要重视函数思想的渗透，优化解题过程.